IMO 2007

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Veluca
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IMO 2007

Messaggio da Veluca » 04 mar 2009, 23:10

Siano a e b interi positivi tali che 4ab − 1 divide (4a² − 1)² . Dimostrare
che a = b.

ci ho provato, inutile dire che non ho avuto molto successo.. xD

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jordan
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Messaggio da jordan » 05 mar 2009, 21:33

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Messaggio da Veluca » 05 mar 2009, 22:05

sìsì, fin lì ci ero arrivato... è il resto il problema xD

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jordan
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Messaggio da jordan » 05 mar 2009, 22:18

Il resto è fattibile se hai visto almeno una volta come si usa il vieta jumping..provare per credere :wink:
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Messaggio da Veluca » 05 mar 2009, 22:31

mai visto come si usa il vieta jumping XD XD

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Messaggio da SkZ » 05 mar 2009, 22:38

http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Video.html
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Messaggio da Veluca » 05 mar 2009, 22:42

sìsì, lo sto già scaricando, cominciato nell'istante in cui ho letto il mex di jordan XD guardo e vi so dire ^^

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Messaggio da Veluca » 06 mar 2009, 00:21

il video di gobbino mi pare non spieghi il vieta jumping... anche perchè si ripete a metà ^^'... cmq ho trovato qualche cosa in inglese... (c'era questo problema come esempio però =_=') in pratica consiste nell'impostare un'equazione di secondo grado, supporre di avere la soluzione minima e dimostrare che l'altra è minore?

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 06 mar 2009, 19:38

Domanda un po' cretina...
Ma se io scompongo $ (4a^2-1)^2 $ in questo modo:
$ (2a-1)(2a-1)(2a+1)(2a+1) $
Questi sono tutte le forme possibili di divisori ?
Cioè... si potrebbe far vedere che $ 4ab-1 $ non è nessuno di quegli oggetti lì?
$ 4ab-1 \not= 2a \pm1 $ (a meno che $ a=b=1 $ )
$ 4ab-1 \not= (2a \pm1)^2 $
$ 4ab-1 \not= (2a +1)^2(2a-1) $
$ 4ab-1 \not= (2a -1)^2(2a+1) $(a meno che $ a=b=1 $ )
$ 4ab-1 \not= (2a-1)(2a+1) $(a meno che $ a=b $ )
Da cui si ricava che gli unici casi favorevoli sono quando $ a=b $
Scusate in anticipo se ho detto scemenze...
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Messaggio da SkZ » 06 mar 2009, 20:21

purtroppo no.
neppure supponendo $ ~4ab+1 $ primo funziona perche' potrebbe essere che $ ~4ab+1|2a\pm1 $ senza che siano uguali

oltre all'uguale devi mettere l'essere primi tra loro
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Messaggio da gismondo » 06 mar 2009, 20:50

(immagino tu intenda $ 4ab-1 $)
grazie per la risposta...però a me risulta $ 4ab-1 \ge 2a\pm1 $ per valori positivi di a e b, quindi come può essere $ ~4ab+1|2a\pm1 $ ?
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Messaggio da SkZ » 06 mar 2009, 21:09

gismondo ha scritto:(immagino tu intenda $ 4ab-1 $)
grazie per la risposta...però a me risulta $ 4ab-1 \ge 2a\pm1 $ per valori positivi di a e b, quindi come può essere $ ~4ab+1|2a\pm1 $ ?
:oops: errore di segno
:oops: errore di disattenzione
ok se e' primo funziona
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