quasi am-gm

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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quasi am-gm

Messaggio da jordan » 28 feb 2009, 01:52

(Dal Vietnam..) Trovare tutti gli $ n \in \mathbb{N} $ per i quali esistono interi positivi $ a,b,c,d $ tali che $ \displaystyle \frac{a+b+c+d}{n}=\sqrt{abcd} $.
(Da TST-UK..) Mostrare che con $ n=4 $ si hanno infinite soluzioni :D
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 28 feb 2009, 10:18

Cosa vuol dire il titolo del topic...?

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jordan
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Messaggio da jordan » 28 feb 2009, 10:21

che un'altra formulazione del secondo punto in N^4 è AM=GM^2..
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 28 feb 2009, 12:04

Beh, adesso sì che è chiaro........

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 28 feb 2009, 14:46

AM è la media aritmetica mentre GM è la media geometrica (ovvero il prodotto degli n termini sotto radice n-esima)
Esiste una disuguaglianza importante in merito : $ AM \ge GM $ col segno di uguaglianza che vale se e solo se tutti i termini sono uguali.
In questo caso abbiamo 4 temini sotto una radice quadrata, se fosse la GM la radice sarebbe quarta...quindi abbiamo $ AM = GM^2 $
Spero di essere stato chiaro...
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 28 feb 2009, 17:27

Tu sì, grazie! :-)

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