sns 1972-73

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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alexba91
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sns 1972-73

Messaggio da alexba91 » 27 feb 2009, 18:05

dimostrare che il prodotto di quattro interi consecutivi aumentato di 1 è un quadrato perfetto.

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Haile
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Messaggio da Haile » 27 feb 2009, 18:29

$ $(n-2)(n-1)(n)(n+1) + 1 = n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n + 1$ $

Sono 5 termini, quindi non può essere quadrato di binomio. Sarà quadrato di trinomio? Ci servono 3 quadrati e 3 doppi prodotti:

$ $(n^4 + n^2 + 1) - 2n^3 - 2n^2 + 2n$ $

$ $(-n^2)^2 + (n)^2 + (1)^2 + 2(-n^2 \cdot n) + 2(-n^2 \cdot 1) + 2(n \cdot 1)$ $

Ovvero $ $\boxed{(n^2 - n - 1)^2}$ $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

Veluca
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Messaggio da Veluca » 27 feb 2009, 18:29

$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1=\\ =(n^2-1)(n^2-2n)+1=\\ =n^4-2n³-n^2+2n+1=\\ =n^4+n^2+1-2n³-2n^2+2n=\\ =(n^2-n-1)^2 $
facilino, per essere un sns.. ammesso che non abbia sbagliato qualcosa (forse perchè era vecchio?)
edit:anticipato di qualche secondo :cry:

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Haile
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Messaggio da Haile » 27 feb 2009, 19:11

Identica alla mia... rimedio con questa che m'è venuta poco dopo:

$ $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = m^2$ $

$ $\big(n(n+3)\big)\big((n+1)(n+2)\big) = (m-1)(m+1)$ $

$ $(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = (m-1)(m+1)$ $

$ $\big((n^2+3n+1)-1\big)\big( (n^2 + 3n +1)+1\big) = (m-1)(m+1)$ $

dove $ $(n^2+3n+1) = m$ $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 27 feb 2009, 20:50

e vabbò va ... :D
$ (a+1)^2 = a^2 +2a +1 $ quindi il prodotto di 4 numeri consecutivi è della forma $ a(a+2) $ infatti:
$ n(n+1)(n+2)(n+3) = (n+1)(n+2)n(n+3)= (n^2 +3n +2)(n^2 +3n) $
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"

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