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il 7 arriva prima o poi??

Inviato: 21 feb 2009, 20:15
da gismondo
Problema molto interessante...
È stato proposto a una lezione tenuta a Roma3 riguardante le congruenze.

Data la funzione $ f(n)= 2^n $ dimostrare che per qualche valore di $ n $ il valore restituito ha come prima cifra (da sinistra) 7

Inviato: 21 feb 2009, 21:56
da Enrico Leon
$ n=46 $ :D

Inviato: 21 feb 2009, 22:13
da gismondo
Se lo hai trovato con un ragionamento mi complimento, se lo hai trovato "brute-force" mi complimento ancora di più per la buona volontà :P
La dimostrazione? :D

Inviato: 22 feb 2009, 11:47
da Enrico Leon
Dimostrazione semplicissima!
Start -> Tutti i programmi -> Accessori -> Calcolatrice
Si digita 2* e si preme Invio per 45 volte
:roll:

Inviato: 22 feb 2009, 13:04
da Cassa
Enrico Leon ha scritto:Dimostrazione semplicissima!
Start -> Tutti i programmi -> Accessori -> Calcolatrice
Si digita 2* e si preme Invio per 45 volte
:roll:
SBATTO :shock:

Inviato: 22 feb 2009, 13:11
da kn
e con linux? :lol:

Inviato: 22 feb 2009, 13:34
da stefanos
kn ha scritto:e con linux? :lol:
Volevo chiederlo anche io :wink:

Inviato: 22 feb 2009, 14:02
da Haile
Cassa ha scritto:
Enrico Leon ha scritto:Dimostrazione semplicissima!
Start -> Tutti i programmi -> Accessori -> Calcolatrice
Si digita 2* e si preme Invio per 45 volte
:roll:
SBATTO :shock:
Derive:

TABLE(2^n, n, 1, 100, 1)

e stop :lol:

Inviato: 22 feb 2009, 14:16
da gismondo
Ragazzi ma qualcuno che si cimenta nella dimostrazione? :P
In realtà il problema può essere allargato a "dimostrare che tutte le cifre compariranno prima o poi al primo posto"

Inviato: 22 feb 2009, 15:04
da SkZ
si vede che ($ ~\log=\log_{10} $)
$ $\log{7}<frac{(n\log{2})}<\log{8} $

Inviato: 22 feb 2009, 15:26
da piever
Generalizziamo un po':

Per ogni sequenza finita di cifre decimali esiste n tale che l'espressione decimale di $ 2^n $ inizia con quella sequenza di cifre.

Inviato: 22 feb 2009, 15:33
da Haile
SkZ ha scritto:si vede che ($ ~\log=\log_{10} $)
$ $\log{7}<frac{(n\log{2})}<\log{8} $
eh? O.o

Inviato: 22 feb 2009, 15:50
da Jacobi
piever ha scritto:Generalizziamo un po':

Per ogni sequenza finita di cifre decimali esiste n tale che l'espressione decimale di $ 2^n $ inizia con quella sequenza di cifre.
un applicazione del nn famoso, ma molto utile, teorema di jacobi (si esatto, quello del mio nick :D ): la sequenza ( per a irrazionale ) $ a_n = n a - \lfloor n a \rfloor $ e densa ovunque in (0,1)

Inviato: 23 feb 2009, 00:58
da fph
Raga', qui non ci stiamo capendo. Non serve gente che snobba il problema, lo fa al computer, o dice "è un caso particolare di questo risultato super-generale". Sarebbe gradita una dimostrazione "da gara", possibilmente autocontenuta, da parte di qualcuno che non ha già visto il problema dieci volte. Se no questo forum che ci sta a fare?

Inviato: 23 feb 2009, 15:02
da Haile
Ok, ci provo (senza congruenze, però). Mi sono bloccato alla fine:

Dev'essere, per qualche $ $k, n \in \mathbb{N}$ $:

$ $7 \cdot 10^k \leq 2^n < 8 \cdot 10^k$ $

Prendendo il logaritmo in base due:

$ $\log_2 7 + k \log_2 10 \leq n < \log_2 8 + k \log_2 10$ $

Ora, dev'esserci un intero $ $n$ $ che stia tra quei due numeri, ovvero devono avere parte intera diversa, ed in particolare:

$ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $

Consideriamo ora $ $ 3 - \log_2 7 $ $. Si può dimostrare che è compreso tra $ $\frac{1}{4}$ $ e $ $\frac{1}{6}$ $.

Ovvero, la parte decimale di $ $\log_2 7$ $ è compresa tra $ $[0.75, 0.83]$ $

Allora, perchè valga $ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $, dev'essere che $ $k\log_2 10$ $ abbia, per qualche $ $k$ $, un decimale minore di $ $0.17$ $, in modo che a sinistra non avvenga lo "scatto" all'unità successiva e la disuguaglianza con le funzioni floor regga.

... now?