Quadrati e congruenze modulo 3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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gismondo
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Quadrati e congruenze modulo 3

Messaggio da gismondo » 17 feb 2009, 13:03

Ciao,
mi rendo conto che la domanda è elementare, ma non sono molto esperto...
Come si dimostra che se $ n \equiv 2 \pmod 3 $ allora non è un quadrato??
Avevo pensato per assurdo ma vorrei sentire voi che siete più bravi... :)
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geda
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Re: Quadrati e congruenze modulo 3

Messaggio da geda » 17 feb 2009, 13:25

gismondo ha scritto:Ciao,
mi rendo conto che la domanda è elementare, ma non sono molto esperto...
Come si dimostra che se $ n \equiv 2 \pmod 3 $ allora non è un quadrato??
Avevo pensato per assurdo ma vorrei sentire voi che siete più bravi... :)
Allora, per ogni$ n $ si possono verificare i seguenti casi $ n\equiv 0,1,2 \pmod 3 $, quindi per $ n^2 $ avrai $ n^2\equiv 0, 1, 4 \pmod 3 $ rispettivamente, cioe' $ n^2\equiv 0,1,1 \pmod 3 $. Come vedi non puo' esserci il $ 2 $.

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 17 feb 2009, 13:50

Ok grazie...
:D
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geda
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Messaggio da geda » 17 feb 2009, 13:54

gismondo ha scritto:Ok grazie...
:D
you're welcome :lol:

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 17 feb 2009, 15:05

piu' in generale

$ ~x\equiv 0,\pm1,\pm2,\dots \pmod{n}\Rightarrow x^2\equiv 0,1,4,\dots \pmod{n} $

inoltre da notare che se $ ~n=4m $
$ ~x-\frac n2\equiv 0,\pm1,\pm2,\dots \pmod{n}\Rightarrow x^2\equiv 0,1,4,\dots \pmod{n} $

per questo spesso si usano appunto i residui quadratici modulo 3, 4 e 8 (ci sono pochi casi da gestire ;) )
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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