serie di "interi"

[geda]

Sia $ n_1,\,n_2,\,n_3,\dots $ una successione di interi positivi a partire da $ 1 $ e tutti i numeri che hanno come fattori solo $ 2 $ e $ 3 $ (e relative potenze s'intede). Calcolare il valore della somma:

$ \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}+\dots $

Bonus Question: Sono possibili simpatiche generalizzazioni con piu' fattori primi?

[spiglerg]

Tutti gli n devono essere espressi come $ 2^i 3^k $.
La somma dei loro reciproci sara' $ \sum_i \sum_k \frac{1}{2^i} \frac{1}{3^k} $, ovvero (visto che per la sommatoria interna $ \frac{1}{2^i} $ e' costante) $ \sum_i ( \frac{1}{2^i} \sum_k \frac{1}{3^k} ) $.

Calcoliamo $ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} $.

Riscriviamo $ \sum_i ( \frac{1}{2^i} \sum_k \frac{1}{3^k} ) = \frac{3}{2} \sum_i \frac{1}{2^i} $, e calcoliamo cosi' il numero cercato

$ \frac{3}{2} \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 3 $.

[jordan]

Bonus Question: Sono possibili simpatiche generalizzazioni con piu' fattori primi?

Siano fissati dei primi $ \{p_i\}_1^n $, e sia definito $ m=\prod_{i=1}^n{p_i} $. Allora la somma di tutti i numeri positivi $ k $ con la proprietà che se $ q|k \implies p_i|q $ per qualche $ i $, vale $ \frac{m}{\phi(m)} $

[spiglerg]

La generalizzazione si vede facilmente anche partendo dal mio procedimento; dati $ p_1, p_2, ..., p_k $, la somma degli $ \frac{1}{n_i} $ vale appunto

$ $$ \frac{p_1}{p_1-1} \frac{p_2}{p_2-1} ... \frac{p_k}{p_k-1} = \frac{m}{\phi(m)} $$ $