MEMO 2007

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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geda
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MEMO 2007

Messaggio da geda » 11 feb 2009, 11:02

Determinare tutte le coppie $ (x,y) $ di interi positivi che soddisfano l'equazione $ x!+y!=x^y $

Veluca
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Messaggio da Veluca » 11 feb 2009, 14:17

Se $ x\le y $: $ x!(1+\frac{y!}{x!})=x^y $ cioè $ x!|x^y $. Poichè se x>2 x! contiene fattori che $ x^y $ non contiene (nessun numero è multiplo di tutti i precedenti). Quindi x=1 o x=2
1+y!=1 -> impossibile
$ \displaystyle 2+y!=2^y\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)=2(2^{y-2}+2^{y-3}+...+2+1)\\\Rightarrow y!=2^{y-1}+2^{y-2}+...+4+2 $
Studiando l'equazione modulo 4:
$ y!=2\pmod 4 \Rightarrow y<4 $
Se y=1 si ha $ 2+1!\ne2^1 $; se y=2 si ha $ 2+2!=2^2 $; se y=3 si ha $ 2+3!=2^3 $. le soluzioni sono quindi le coppie (2,2) e (2,3)
Resta da esaminare il caso x>y...
edit: scritto una bestialità
Ultima modifica di Veluca il 11 feb 2009, 14:42, modificato 3 volte in totale.

stefanos
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Messaggio da stefanos » 11 feb 2009, 14:31

Veluca ha scritto:$ $x|y! \Rightarrow x\le y$ $
$ $12|4! \not\Longrightarrow 12 \leqslant 4$ $ :wink:
Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]

Veluca
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Messaggio da Veluca » 11 feb 2009, 14:33

avresti anche ragione... penso a come sistemarla

geda
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Messaggio da geda » 11 feb 2009, 14:53

Veluca ha scritto: Resta da esaminare il caso x>y...
Dai, che non e' poi cosi' difficile :wink:

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Messaggio da SkZ » 11 feb 2009, 15:47

Stirling? ;)
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Messaggio da SkZ » 12 feb 2009, 17:14

dato che mi e' stato chiesto cos'e' sto Stirling, rispondo qui per utilita'
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
$ $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} \, \left(\frac{n}{e}\right)^n }{n!} = 1 $
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Messaggio da SkZ » 14 feb 2009, 16:04

no, sbagliato. facendo i conti mi si era girato il maggiore. (mi era venuto $ ~x!>x^x $)
Stirling non e' cosi' di aiuto
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