Interessante Bulgaro

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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geda
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Interessante Bulgaro

Messaggio da geda » 11 feb 2009, 10:51

Trovare tutti i numeri primi $ p $, per i quali il numero $ p(2^{p-1}-1) $ e' una potenza $ k $-esima di un numero intero, con $ k>1 $.

Veluca
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Messaggio da Veluca » 11 feb 2009, 13:31

per il piccolo teorema di fermat $ p|(2^{\frac{p-1}2}-1)(2^{\frac{p-1}2}+1) $ se p è dispari, ovvero $ p\ne2 $. (Se p=2 si verifica facilmente che $ 2(2^{2-1}-1) $ non è una potenza perfetta.)
Allora $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p $ o $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv -1\pmod p $
Se $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p $ allora $ (2\pmod p)^{\frac{p-1}2}\equiv1 \pmod p\Rightarrow 2\equiv\pm1\pmod p\Rightarrow p=3 $
Se invece $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv -1\pmod p $ allora $ (2\pmod p)^{\frac{p-1}2}\equiv -1 \pmod p\Rightarrow 2\equiv -1\pmod p\Rightarrow p=3 $.
Infatti $ 3(2^{3-1}-1)=9=3^2 $
Giusto?

geda
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Messaggio da geda » 11 feb 2009, 13:54

Veluca ha scritto: Se $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p $ allora $ (2\pmod p)^{\frac{p-1}2}\equiv1 \pmod p\Rightarrow 2\equiv\pm1\pmod p\Rightarrow p=3 $
Se invece $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv -1\pmod p $ allora $ (2\pmod p)^{\frac{p-1}2}\equiv -1 \pmod p\Rightarrow 2\equiv -1\pmod p\Rightarrow p=3 $.
:? Mmm... Se $ 2^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p $ non necessariamente vale solo $ (2\pmod p)^{\frac{p-1}2}\equiv1 \pmod p\Rightarrow 2\equiv\pm1\pmod p\Rightarrow p=3 $. Ad esempio $ 2^{\frac{17-1}{2}}\equiv 1 \pmod{17} $ e $ 2 $ non e' $ \pm 1 \pmod{17} $

In ogni caso una soluzione e' quella che hai trovato :)

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