OliForum Matematico

SalvoLoki ha scritto:Penso di aver capito male quello che chiedi.. (2^x) a + b è un quadrato perfetto solo se a=0??

Ho detto di dimostrare che se $ 2^x\cdot a + b $ è un quadrato perfetto per ogni x naturale (incluso lo 0), allora deve essere per forza $ a=0 $. In altre parole se $ b, a+b, 2a+b, 4a+b,... $ sono quadrati, allora $ a=0 $. Chiaro?

EDIT: $ a,b $ sono interi non negativi scusate

Ancora non leggo le tue, comunque è troppo conosciuto: se x non è 0 allora x può essere espresso come prodotto di due interi solo in un numero finito di modi. Ma 3b=4 ((2^x)a+b)-(2^(x+2)a+b) quindi prodotto di due interi, in infiniti modi; per cui a=0.

lilceng ha scritto: Comunque è troppo conosciuto: se x non è 0 allora x può essere espresso come prodotto di due interi solo in un numero finito di modi. Ma $ 3b=4 ((2^x)a+b)-(2^{x+2}a+b) $ quindi prodotto di due interi, in infiniti modi; per cui a=0.

Sì, sapevo che fosse semplice, ma non immaginavo così conosciuto .
Vai avanti tu con la staffetta o ne propongo uno diverso io?

lilceng ha scritto: Ancora non leggo le tue

Le mie cosa? Le mie soluzioni? Stanno tre o quattro post indietro.

Problema 79bis: Dati due interi positivi $ a $ e $ b $ maggiori di 1, tali che $ ab $ non è un quadrato perfetto, dimostrate che esiste un intero positivo $ n $ tale che $ (a^n-1)(b^n-1) $ $ \textit{non} $ è un quadrato perfetto.

vediamo...Mi sembra veramente troppo banale la mia dimostrazione, quindi credo che sia sbagliata, ditemi voi...

Allora, semplicemente sviluppo il prodotto e ottengo che $ a^nb^n -a^n -b^n \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4} $... Siccome nessun numero equivale a 3 modulo 4 allora $ (a^n -1)(b^n-1) $ non è un quadrato perfetto. Giusto ?

minima.distanza ha scritto: Siccome nessun numero equivale a 3 modulo 4

..io avrei qualche dubbio...=P

Mmh... innanzitutto stai assumendo che $ (a^n-1)(b^n-1) \equiv 0 \pmod 4 $, cosa che ad esempio non vale mai se scelgo $ a $ e $ b $ multipli di 4.

Poi quando sviluppi il prodotto, stai comunque tentando di dimostrare che $ a^nb^n-a^n-b^n $ ( e non $ a^nb^n - a^n - b^n +1 $) non può essere un quadrato perché -1 non è un residuo quadratico modulo 4. Chiaro?

N.B.

minima.distanza ha scritto: Siccome nessun numero equivale a 3 modulo 4

Qui immagino tu voglia dire "Siccome nessun quadrato equivale a 3 modulo 4".

Hai ragione nel N.B. a dire il vero quando io analizzo il modulo 4 ho già "spostato" l'uno dall'altra parte cambiandolo di segno... Oltretutto il fatto che non valga mai per a e b pari, non conferma la mia dimostrazione ? Pedonate l'imbranataggine, non sono molto bravo per ora...

no..deve essere pure multiplo di 4...

Non ha senso spostare il $ +1 $ dall'altra parte... così stai comunque mostrando (anche se assumi una cosa che può essere sempre falsa) che $ a^nb^n-a^n-b^n $, essendo congruo a 3, non può essere un quadrato, che con la tesi non ha nulla a che fare.


Riscrivendo la tua idea:
Allora... tu stai cercando di mostrare che $ (a^n-1)(b^n-1) $ non è quadrato per qualche n.

Hai ricordato che $ -1 $ non è un residuo quadratico modulo 4.

Quindi per dimostrare che $ (a^n-1)(b^n-1) $ non è un quadrato, devi mostrare che è possibile scegliere un valore di $ n $ in maniera tale che $ (a^n-1)(b^n-1) \equiv -1 \pmod 4 $.

Ma come dice pexar 94, se a e b sono entrambi multipli di 4 $ (a^n-1)(b^n-1) \equiv (-1) \cdot (-1) \equiv 1 \pmod 4 $ e 1 è un residuo quadratico modulo 4, quindi falla.

Capito?

cioè bisogna mostrare che è possibile che $ (a^n-1) \equiv 1 $ e $ (b^n-1) \equiv -1 $ o viceversa
quindi $ a^n \equiv 2 $, il che è impossibile perché se n>1 e il numero(essendo congruo a 2 mod 4) è pari, nella sua fattorizzazione ci sara almeno $ 2^2 $, quindi è multiplo di 4.. l'unico caso è che $ a \equiv2 $ e $ n=1 $ ma noi non possiamo scegliere a...

l'unico caso che ci resta è che $ (a^n-1)(b^n-1)\equiv 2 $, 2 $ 2=-1*-2=1*2 $.Ma se $ (a^n-1) \equiv 1 $ è impossibile, quindi $ (a^n-1) \equiv -1 $ e $ (b^n-1) \equiv -2 $, quindi $ a^n \equiv 0 $ e $ b^n \equiv -1 $. Se queste 2 ultime affermazioni sono vere, l'equazione è impossibile..

se ho fatto qualche errore non mi trattate male...=S

Pexar, non ho capito bene cosa hai fatto... Comunque continuare modulo 4 non funziona...

Editato il testo: Ho aggiunto l'ipotesi che $ ab $ non è un quadrato perfetto (così facendo si può trovare una dimostrazione semplice ed elegante).


Hint: Un intero positivo è residuo quadratico modulo ogni primo se e solo se è un quadrato perfetto.

GioacchinoA ha scritto:Problema 79bis: Dati due interi positivi $ a $ e $ b $ maggiori di 1, tali che $ ab $ non è un quadrato perfetto, dimostrate che esiste un intero positivo $ n $ tale che $ (a^n-1)(b^n-1) $ $ \textit{non} $ è un quadrato perfetto.

Forse ora dirò una fesseria,quindi non mi fucilate........Se pongo $ \displaystyle ab $ come un numero che non è un quadrato perfetto allora ciò implica che $ \displaystyle a \not = b $ e di conseguenza,se è vero quanto affermato allora anche $ \displaystyle a^n-1 \not = b^n-1 $.Da ciò,se pongo $ a^n-1= c $ e $ b^n-1=d $,per quanto detto prima deve valere che $ \displaystyle cd \not = e \quad \forall e \in \mathbb{N} $ e quindi esiste sempre un n tale che $ (a^n-1)(b^n-1) $ non sia un quadrato perfetto.

Nel caso,ditemi dove sbaglio.

matty96 ha scritto:per quanto detto prima deve valere che $ \displaystyle cd \not = e \quad \forall e \in \mathbb{N} $

Qua hai scritto che il prodotto di due naturali non è un naturale, che è piuttosto falso
Sinceramente non capisco dove tu voglia arrivare, ricorda che $ ab $ non quadrato perfetto implica $ a \not =b $, ma $ a \not =b $ NON implica $ ab $ non quadrato perfetto.

Scusami ho sbagliato a scrivere( e è naturale ma non quadrato perfetto). Ora che ci penso hai ragione....beh cercherò di cambiare soluzione.Io lo pensavo che la mia soluzione fosse sbagliata.......ci penso un pò(speriamo che non sparerò un'altra cavolata xD)