Staffetta tdn

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Jessica92
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Messaggio da Jessica92 » 01 apr 2010, 19:13

kn ha scritto:Problema 64. Sia S(n) la somma delle cifre di un intero positivo n. Quanto vale al massimo $ \displaystyle~\frac{S(n)}{S(16n)} $?
Fatto 1: $ S(10^ka)=S(a) $ []
Fatto 2: $ S(a)+S(b)\geq S(a+b) $
Dim: Se $ 10>a,b $ $ a+b\geq S(a+b) $, quindi se applico la disuguaglianza su ogni cifra di $ c,d>0 $ grazie al fatto 1 ottengo $ S(c)+S(d)\geq S(c+d) $[]
Fatto 3: $ S(a)S(b)\geq S(ab) $ similmente al fatto 2 []

Fatto 4:$ $\frac{S(5^4k)}{S(k)}\leq 13$ $
Dim: Per il fatto 3 $ $13S(k)=S(5^4)S(k)\geq S(5^4k)$ $ []

Conclusione:
Se pongo $ k=16n $ ottengo $ \displaystyle~\frac{S(n)}{S(16n)}\leq 13 $ []

E oggi già seconda volta che posto troppo tardi :oops:

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kn
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Messaggio da kn » 17 apr 2010, 21:51

jordan ha scritto:Problema 65. Own. Per ogni intero positivo n sia $ \pi(n) $ il numero di primi minori o uguali a n, $ \sigma_0(n) $ il numero dei divisori di n e $ s(n) $ la somma delle cifre di n. Siano fissati a,b,c interi positivi e tre polinomi non costanti p(x),q(x),r(x) a coefficienti non negativi. Mostrare che l'equazione $ \displaystyle \pi^a(p(n))= s^b(q(n))+\sigma_0^c(r(n)) $ ammette solo un numero finito di soluzioni.
Mi dispiace rovinare le 300 risposte e di dover proporre una soluzione sborona, ma così la staffetta va avanti (se qualcuno ha una soluzione più decente la posti)
Partiamo da alcune stime (prese da ScienzeMatematiche):
1) per ogni $ \displaystyle~\theta \in \mathbb{R}^+ $ esiste $ \displaystyle~C_\theta \in \mathbb{R}^+ $ tale che $ \displaystyle~\sigma_0(n) < C_\theta \cdot n^\theta $ per ogni $ \displaystyle~n \in \mathbb{N}^+ $ (v. qui)
2) esiste una costante assoluta $ \displaystyle~\displaystyle C \ge \frac{2}{9} $ tale che $ \displaystyle~\displaystyle \pi(n) \ge C\frac{n}{\ln n} $, per ogni intero $ \displaystyle~n \ge 2 $ (v. qui)
3) per ogni $ \displaystyle~\theta \in \mathbb{R}^+ $ vale $ \displaystyle~s(n)<n^\theta $ definitivamente (cioè esiste $ \displaystyle~\overline x $ tale che $ \displaystyle~x\ge\overline x\to s(n)<n^\theta $
Dimostrazione: il numero di cifre di n è $ \displaystyle~\left\lfloor\log_{10}(n)+1\rfr $, quindi $ \displaystyle~s(n)\le 9\left\lfloor\log_{10}(n)+1\rfr\le 9(\log_{10}(n)+1) $ e $ \displaystyle~9\log_{10}(n)+9<n^\theta $ definitivamente (v. qui).

Passiamo al problema. Siano $ \displaystyle~t,u,v>0 $ i gradi dei polinomi $ \displaystyle~p(x),q(x),r(x) $ rispettivamente.
Esistono delle costanti $ \displaystyle~c_p,C_p,C_q,C_r\in\mathbb{R}^+ $ tali che (definitivamente)
$ \displaystyle~c_pn^t\le p(n)\le C_pn^t,\ q(n)\le C_qn^u,\ r(n)\le C_rn^v $ (v. qui)
Per n abbastanza grande vale $ \displaystyle~\pi^a(p(n))\ge\pi(p(n))\ge C\frac{p(n)}{\ln n}\ge\frac{Cc_pn^t}{\ln C_p+t\ln n}\ge\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n} $
Inoltre, detto $ \displaystyle~m=\max(bu,cv) $ e fissato un $ \displaystyle~\theta<\frac{1}{m} $, definitivamente abbiamo
$ \displaystyle~s^b(q(n))+\sigma_0^c(r(n))\le [q(n)]^{\theta b}+C_\theta^c [r(n)]^{\theta c} $$ \displaystyle~\le (C_q n^u)^{\theta b}+C_\theta^c (C_r n^v)^{\theta c}\le kn^{\theta m} $ con $ \displaystyle~k=C_q^{\theta b}+C_\theta^c C_r^{\theta c} $
Ma per n sufficientemente grande $ \displaystyle~kn^{\theta m}<\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n} $ (diretta applicazione di questo), da cui $ \displaystyle~RHS\le kn^{\theta m}<\frac{Cc_pn}{\ln C_p+t\ln n}\le LHS $, quindi definitivamente l'equazione è falsa.
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kn
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Messaggio da kn » 17 apr 2010, 22:22

Problema 66. Provare che per ogni $ \displaystyle~n\in\mathbb{N}_0 $ il numero $ \displaystyle~\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor $ è pari
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ale.b
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Messaggio da ale.b » 18 apr 2010, 02:14

kn ha scritto:per ogni $ \displaystyle~n\in\mathbb{N}_0 $
penso che tu abbia sbagliato a riportare il testo... per i numeri da 1 a 10 quel numero è intero (e pari) solo per 8 e 9

Sonner
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Messaggio da Sonner » 18 apr 2010, 09:05

ale.b ha scritto:
kn ha scritto:per ogni $ \displaystyle~n\in\mathbb{N}_0 $
penso che tu abbia sbagliato a riportare il testo... per i numeri da 1 a 10 quel numero è intero (e pari) solo per 8 e 9
No penso sia giusto, le parentesi quadre indicano la funzione floor(n), ossia la parte intera di n (il più grande intero minore o uguale di n).

ale.b
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Messaggio da ale.b » 18 apr 2010, 09:20

chiedo venia, non so per quale losco motivo non erano ben visualizzate...

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 20 apr 2010, 22:38

Alur...

Caso 0: $ $n\le 10 $
Ci si fa i casi a mano e si scopre che è vera la tesi.
Caso 1: La frazione è intera e $ $n\ge 10 $.
In questo caso è facile facile convincersi che il fattoriale ha parecchi fattori 2 più del denominatore ;)
Caso 2: La frazione non è intera
In questo caso tra n e n+1 c'è un primo (altrimenti sfruttando la loro coprimalità posso trovare dei fattori al numeratore che li annullano tornando al caso che la frazione sia intera). Assumo sia n il primo, per n+1 il ragionamente è IDENTICO.
Vale:
$ $\left\lfloor \frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor=\frac{\frac{(n-1)!}{n+1}-\left( \frac{(n-1)!}{n+1}\ mod\ n\right)}{n} $
Ma questo è pari se e solo se lo è il numeratore, dato che n è primo quindi dispari. Inoltre il primo addendo è pari sempre (per motivi gia visti) quindi tocca ragionare solo sul secondo e dimostrare che è pari... lo valuto sfruttando il teorema di Wilson:
$ $ \frac{(n-1)!}{n+1}\equiv \frac{-1}{1}\equiv n-1 \pmod{n} $
Quest'ultimo è il valore del secondo ed è palesemente pari.

Spero sia chiaro...
Ultima modifica di dario2994 il 21 apr 2010, 14:37, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da kn » 21 apr 2010, 14:31

Bene porta pure avanti la staffetta..
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 23 apr 2010, 15:09

Uhm... propongo questo:
Dato $ $n $ intero non negativo dimostrare che $ $7^{7^n}+1 $ è divisibile almeno per $ $2n+3 $ numeri primi (anche non distinti).
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Messaggio da dario2994 » 16 mag 2010, 11:13

Dato che ho ammazzato la staffetta vi linko la pagina di Mathlinks dove trovare la dimostrazione:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&#p825590
Chi vuole posti il prossimo...
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Messaggio da kn » 16 mag 2010, 12:35

Qualcuno riesce a provare che $ \displaystyle~R(x)-qS(x)\neq\pm1 $ e $ \displaystyle~R(x)+qS(x)\neq\pm1 $? O bisogna addentrarsi nella dimostrazione del cannone per ottenere qualcosa?
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Messaggio da ndp15 » 17 mag 2010, 20:08

Scusa kn, mi sarò perso qualcosa io ma non ho capito da dove salta fuori ciò che chiedi? :oops:

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Messaggio da <enigma> » 22 mag 2010, 19:26

ndp15 ha scritto:Scusa kn, mi sarò perso qualcosa io ma non ho capito da dove salta fuori ciò che chiedi? :oops:
Penso che si riferisca alla generalizzazione del problema postata poco più sotto, e cioè a questa pagina (in fondo) e a questa. E' quello?

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Messaggio da kn » 23 mag 2010, 19:27

Esatto e non avevo letto il post di silouan, che è più illuminante.. Nelle sue notazioni si deve controllare che è sempre $ ~A^6(n)\neq 7[A(n)-1][A^2(n)-A(n)+1]^2\pm 1 $ (che è facile)
Chi continua la staffetta?
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Messaggio da <enigma> » 24 mag 2010, 15:59

Per non lasciarla cadere, propongo io un problema abbastanza noto. :D

Problema 68. Dimostrare che l'equazione $ x^3+y^4=z^5 $ ha infinite soluzioni $ (x, y, z) \in \mathbb N ^3 $.

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