Inviato: 02 mar 2010, 19:18
Chiamiamo A l'insieme dei reali esprimibili come $ \displaystyle~a+b\sqrt{7} $ con $ \displaystyle~a,b\in\mathbb{Z} $ (si vede facilmente che a e b sono univocamente determinati). Questo insieme è chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione.
Possiamo estendere il concetto di congruenza $ \displaystyle~\pmod n $ anche ad A. Diciamo che $ \displaystyle~a+b\sqrt{7}\equiv c+d\sqrt{7}\pmod n $ se $ \displaystyle~a\equiv b\pmod n $ e $ \displaystyle~c\equiv d\pmod n $. Diciamo anche che $ \displaystyle~\upsilon_p(a+b\sqrt{7})=\upsilon_p((a,b)) $ e che $ \displaystyle~n\mid a+b\sqrt{7} $ se $ \displaystyle~n\mid (a,b) $.
Lemma. Anche per A vale questo. Dimostrazione:
detto t un elemento di A tale che $ \displaystyle~t=p^sj+1,~j\in A $, con $ \displaystyle~s>0 $ e $ \displaystyle~p\nmid j $, abbiamo $ \displaystyle~(p^sj+1)^p-1=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}(p^sj)^i-1\equiv p^{s+1}j\pmod{p^{s+2}} $, quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(t^p-1)=\upsilon_p(t)+1 $. Per induzione se $ \displaystyle~k $ è una potenza di $ \displaystyle~p $ vale $ \displaystyle~\upsilon_p(t^k-1)=\upsilon_p(t)+\upsilon_p(k) $. Ora in generale se $ \displaystyle~\upsilon_p(k)=n $, posto $ \displaystyle~k=p^nm $ e $ \displaystyle~u=t^{p^n} $, vale $ \displaystyle~\upsilon_p(u^m-1)=\upsilon_p(u-1) $, infatti $ \displaystyle~u^m-1=(u-1)(u^{m-1}+\ldots+u+1) $ e (poiché $ \displaystyle~u\equiv1\pmod p $) $ \displaystyle~u^{m-1}+\ldots+u+1\equiv m\not\equiv0\pmod p $. Segue che $ \displaystyle~\forall k>0~\upsilon_p(t^k-1)=\upsilon_p(t-1)+\upsilon_p(k) $.
Ora finalmente torniamo al problema, in particolare al caso $ \displaystyle~z=1 $:
deve essere y > 1, dunque $ \displaystyle~\pmod 9 $ x dispari. Inoltre $ \displaystyle~\pmod 7 $ y pari.
Poniamo $ \displaystyle~x=2X+1 $ e $ \displaystyle~y=2Y $. Otteniamo $ \displaystyle~3^{2Y}-7\cdot7^{2X}=2 $ che assomiglia all'equazione di Pell classica. Vorremmo un 1 al posto del 2. Per fare ciò eleviamo al quadrato:
$ \displaystyle~3^{4Y}+7^2\cdot 7^{4X}-2\cdot 3^{2Y}\cdot 7\cdot 7^{2X}=4 $, che si può riscrivere come
$ \displaystyle~(3^{2Y}+7\cdot7^{2X})^2-7(2\cdot7^X\cdot3^Y)^2=4 $, o anche
$ \displaystyle~\left(\frac{3^{2Y}+7\cdot7^{2X}}{2}\right)^2-7(7^X\cdot3^Y)^2=1 $
Dunque, perché questa equazione sia soddisfatta, lo deve essere la seguente equazione di Pell (ridefinendo z)
$ \displaystyle~w^2-7z^2=1 $
con $ \displaystyle~z=7^X\cdot3^Y $
Dalla teoria delle equazioni di Pell (v. qui), sappiamo che $ \displaystyle~w+z\sqrt{7}=(8+3\sqrt{7})^n $ per qualche n (v. Theorem 2 nel pdf), da cui, eguagliando i coefficienti di $ \displaystyle~\sqrt{7} $,
$ \displaystyle~z=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}=\frac{(8+3\sqrt{7})^{2n}-1}{2\sqrt{7}(8+3\sqrt{7})^n} $.
Quindi $ \displaystyle~\upsilon_3\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)\ge Y $ e $ \displaystyle~\upsilon_7\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)\ge X $ (non è detto purtroppo che $ \displaystyle~\upsilon_p(tu)=\upsilon_p(t)+\upsilon_p(u) $, basta prendere $ \displaystyle~p=3,t=2+\sqrt{7},u=1+\sqrt{7} $).
Vale $ \displaystyle~3\mid (8+3\sqrt{7})^2-1 $, da cui $ \displaystyle~\upsilon_3\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)=1+\upsilon_3(n)\ge Y $.
Inoltre vale $ \displaystyle~7\mid (8+3\sqrt{7})^7-1 $ e $ \displaystyle~7\nmid (8+3\sqrt{7})^k-1 $ se k < 7 (si vede con due conti con le congruenze). Dunque $ \displaystyle~7\mid 2n $ e $ \displaystyle~\upsilon_7\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)=1+\upsilon_7(\frac{2n}{7})=v_7(n)\ge X $.
Quindi $ \displaystyle~Y\le 1+\upsilon_3(n)\le 1+\log_3(n) $ e $ \displaystyle~X\le \log_7(n) $. Quindi $ \displaystyle~z=7^X\cdot3^Y\le n\cdot 3n=3n^2 $. Ma $ \displaystyle~z=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}\ge\frac{(6\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}} $. Dunque deve essere $ \displaystyle~\frac{(6\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}\le 3n^2 $ cioè $ \displaystyle~(6\sqrt{7})^n\le 6\sqrt{7}n^2 $, falso già per $ \displaystyle~n\ge 2 $. Segue che $ \displaystyle~n=1 $, $ \displaystyle~z=3^Y\cdot7^X=3 $, $ \displaystyle~Y=1 $ e $ \displaystyle~X=0 $. Dunque l'unica soluzione è $ \displaystyle~x=1,y=2 $.
Tornando alla z del problema di partenza, se z = 1 l'unica soluzione è $ \displaystyle~(1,2,1) $. Unendo questo a quanto già osservato da gismondo le uniche soluzioni sono $ \displaystyle~(1,2,1) $ e $ \displaystyle~(2,5,4) $.
Visto che mi sono inventato tutte queste estensioni di sana pianta, non escludo che possano esserci errori irreparabili
Possiamo estendere il concetto di congruenza $ \displaystyle~\pmod n $ anche ad A. Diciamo che $ \displaystyle~a+b\sqrt{7}\equiv c+d\sqrt{7}\pmod n $ se $ \displaystyle~a\equiv b\pmod n $ e $ \displaystyle~c\equiv d\pmod n $. Diciamo anche che $ \displaystyle~\upsilon_p(a+b\sqrt{7})=\upsilon_p((a,b)) $ e che $ \displaystyle~n\mid a+b\sqrt{7} $ se $ \displaystyle~n\mid (a,b) $.
Lemma. Anche per A vale questo. Dimostrazione:
detto t un elemento di A tale che $ \displaystyle~t=p^sj+1,~j\in A $, con $ \displaystyle~s>0 $ e $ \displaystyle~p\nmid j $, abbiamo $ \displaystyle~(p^sj+1)^p-1=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}(p^sj)^i-1\equiv p^{s+1}j\pmod{p^{s+2}} $, quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(t^p-1)=\upsilon_p(t)+1 $. Per induzione se $ \displaystyle~k $ è una potenza di $ \displaystyle~p $ vale $ \displaystyle~\upsilon_p(t^k-1)=\upsilon_p(t)+\upsilon_p(k) $. Ora in generale se $ \displaystyle~\upsilon_p(k)=n $, posto $ \displaystyle~k=p^nm $ e $ \displaystyle~u=t^{p^n} $, vale $ \displaystyle~\upsilon_p(u^m-1)=\upsilon_p(u-1) $, infatti $ \displaystyle~u^m-1=(u-1)(u^{m-1}+\ldots+u+1) $ e (poiché $ \displaystyle~u\equiv1\pmod p $) $ \displaystyle~u^{m-1}+\ldots+u+1\equiv m\not\equiv0\pmod p $. Segue che $ \displaystyle~\forall k>0~\upsilon_p(t^k-1)=\upsilon_p(t-1)+\upsilon_p(k) $.
Ora finalmente torniamo al problema, in particolare al caso $ \displaystyle~z=1 $:
deve essere y > 1, dunque $ \displaystyle~\pmod 9 $ x dispari. Inoltre $ \displaystyle~\pmod 7 $ y pari.
Poniamo $ \displaystyle~x=2X+1 $ e $ \displaystyle~y=2Y $. Otteniamo $ \displaystyle~3^{2Y}-7\cdot7^{2X}=2 $ che assomiglia all'equazione di Pell classica. Vorremmo un 1 al posto del 2. Per fare ciò eleviamo al quadrato:
$ \displaystyle~3^{4Y}+7^2\cdot 7^{4X}-2\cdot 3^{2Y}\cdot 7\cdot 7^{2X}=4 $, che si può riscrivere come
$ \displaystyle~(3^{2Y}+7\cdot7^{2X})^2-7(2\cdot7^X\cdot3^Y)^2=4 $, o anche
$ \displaystyle~\left(\frac{3^{2Y}+7\cdot7^{2X}}{2}\right)^2-7(7^X\cdot3^Y)^2=1 $
Dunque, perché questa equazione sia soddisfatta, lo deve essere la seguente equazione di Pell (ridefinendo z)
$ \displaystyle~w^2-7z^2=1 $
con $ \displaystyle~z=7^X\cdot3^Y $
Dalla teoria delle equazioni di Pell (v. qui), sappiamo che $ \displaystyle~w+z\sqrt{7}=(8+3\sqrt{7})^n $ per qualche n (v. Theorem 2 nel pdf), da cui, eguagliando i coefficienti di $ \displaystyle~\sqrt{7} $,
$ \displaystyle~z=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}=\frac{(8+3\sqrt{7})^{2n}-1}{2\sqrt{7}(8+3\sqrt{7})^n} $.
Quindi $ \displaystyle~\upsilon_3\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)\ge Y $ e $ \displaystyle~\upsilon_7\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)\ge X $ (non è detto purtroppo che $ \displaystyle~\upsilon_p(tu)=\upsilon_p(t)+\upsilon_p(u) $, basta prendere $ \displaystyle~p=3,t=2+\sqrt{7},u=1+\sqrt{7} $).
Vale $ \displaystyle~3\mid (8+3\sqrt{7})^2-1 $, da cui $ \displaystyle~\upsilon_3\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)=1+\upsilon_3(n)\ge Y $.
Inoltre vale $ \displaystyle~7\mid (8+3\sqrt{7})^7-1 $ e $ \displaystyle~7\nmid (8+3\sqrt{7})^k-1 $ se k < 7 (si vede con due conti con le congruenze). Dunque $ \displaystyle~7\mid 2n $ e $ \displaystyle~\upsilon_7\left((8+3\sqrt{7})^{2n}-1\right)=1+\upsilon_7(\frac{2n}{7})=v_7(n)\ge X $.
Quindi $ \displaystyle~Y\le 1+\upsilon_3(n)\le 1+\log_3(n) $ e $ \displaystyle~X\le \log_7(n) $. Quindi $ \displaystyle~z=7^X\cdot3^Y\le n\cdot 3n=3n^2 $. Ma $ \displaystyle~z=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}\ge\frac{(6\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}} $. Dunque deve essere $ \displaystyle~\frac{(6\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}\le 3n^2 $ cioè $ \displaystyle~(6\sqrt{7})^n\le 6\sqrt{7}n^2 $, falso già per $ \displaystyle~n\ge 2 $. Segue che $ \displaystyle~n=1 $, $ \displaystyle~z=3^Y\cdot7^X=3 $, $ \displaystyle~Y=1 $ e $ \displaystyle~X=0 $. Dunque l'unica soluzione è $ \displaystyle~x=1,y=2 $.
Tornando alla z del problema di partenza, se z = 1 l'unica soluzione è $ \displaystyle~(1,2,1) $. Unendo questo a quanto già osservato da gismondo le uniche soluzioni sono $ \displaystyle~(1,2,1) $ e $ \displaystyle~(2,5,4) $.
Visto che mi sono inventato tutte queste estensioni di sana pianta, non escludo che possano esserci errori irreparabili