OliForum Matematico

Problema 52:
Dimostro che non ci sono soluzioni.
Assumo per assurdo che a,b siano soluzioni.
Risolvo in a la quadratica del testo, quindi il discriminante deve essere un quadrato:
$ $5b^2+4b+20=x^2\Rightarrow (5b+2)^2=5x^2-96 $
Sostituisco $ y=5b+2 $ da cui si ottiene:
$ $y^2=5x^2-96 $ ***
Analizzando modulo 3 *** ottengo:
$ $x^2+y^2\equiv 0\pmod{3} $
Perciò sono entrambi divisibili per 3, ma essendo quadrati anche per 9. Analizzando *** mod 9 ottengo:
$ 0\equiv 6\pmod{9} $
Che da l'assurdo.

p.s. ho paura di aver toppato qualche calcolo...

Nein, tutto giusto a te il 53

Problema 53
Trovare tutti gli a,b,c interi maggiori di 1 tali che:
$ $|2^a-b^c|=1 $

p.s. non ho la soluzione ma confido in voi xD Viene dal TST della Croazia, o qualcosa del genere ora non ricordo. Potrebbe essere gia passato da questo forum (se non da questo thread :O)

Ricordo il sempre utile cannone che ti porta a 0 punti in una qualsiasi gara ma fa molto ganzo: http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
Ovviamente non spero me l'accettiate come soluzione.

Che non te l'accetto qui non ci piove xD
Che porti 0 in una gara... non saprei, ad occhio non ce lo metterebbero un problema che si risolve in mezza riga col teoremone

Alur, ci provo io...spero di sbagliare perchè non saprei cosa mettere dopo..

CASO1:2^a-b^c=1
$ 2^a-b^c=1\to 2^a=b^c+1\to c=2k+1 $, per il fatto che i residui modulo 4 sono 0 e 1. Posso fare così:

$ $2^a=(b+1)(\sum_{i=0}^{c-1}{b^i(-1)^{c-1-i}}) $
Però quella somma è dispari perchè fatta da un numero dispari di addendi dispari..
CASO2: 2^a-b^c=-1
$ 2^a=b^c-1 $ quindi o c è pari o b è congruo a 1 modulo 4.
c pari: allora viene fuori $ 2^a=(b^{c/2}-1)(b^{c/2}+1)=d(d+2) $ da cui le soluzioni a=3 b=3 c=2
c dispari:
$ 2^a=(b-1)(\sum_{i=0}^{c-1}{(b^i)}) $ ma allora quella sommatoria ha un numero dispari di addendi dispari, assurdo..

Era passato si da questo forum: viewtopic.php?t=12575&highlight=catalan

@ reginald: perfetto
@ndp15@ non è lo stesso esercizio anche se è simile

dario2994 ha scritto: @ndp15 non è lo stesso esercizio anche se è simile

Hai ragione

Ah ecco, mi pareva di averlo già visto..beh mi sento un po' ladro verso veluca ..cercherò qualcosa...

E' un vecchio IMO...spero non sia già stato postato..

Trovare tutte le coppie (m;n) di interi positivi per cui $ $\frac{n^3+1}{mn-1} $ è intero.

Soluzione problema 54. Se $ m\le 3 $ otteniamo le coppie $ (m,n) \in\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,5),(3,5)\} $; se $ n=1 $ allora $ m\in\{2,3\} $; se $ n=m $ allora $ n=2 $. Adesso $ \text{gcd}(mn-1,n)=1 $ e $ mn-1 \mid n^3+1-(mn-1)\phi_3(mn)=n^3(m^3+1) $ cioè se $ (m,n) $ è soluzione allora lo è anche $ (n,m) $, per cui assumiamo wlog $ 1<m<n $. Abbiamo $ mn-1\mid n^3+1+(mn-1)(mn+1)=n^2(n+m^2) $ che implica $ mn-1\le m^2+n \leftrightarrow n\le m+1+\frac{2}{m-1} $. Dato che $ m\ge 4 $ allora resta l'unico caso $ n=m+1 $ che implicherebbe $ m^2+m-1 \mid (m+1)^3-1=m(m^2+3m+3) <m\left(2(m^2+m-1)\right) $, che è assurdo.

Problema 55. a) Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2=3^y $.

b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.

jordan ha scritto:Problema 55. Trovare tutti gli $ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ tali che $ 7^x+2=3^y $.

$ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ scusa l'ignoranza senza confini ma non capisco quale sia questo insieme!

Rosinaldo ha scritto: $ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ scusa l'ignoranza senza confini ma non capisco quale sia questo insieme!

L'insieme è $ \mathbb{N} $ da cui si esclude l'elemento 0.