Staffetta tdn
Problema 52:
Dimostro che non ci sono soluzioni.
Assumo per assurdo che a,b siano soluzioni.
Risolvo in a la quadratica del testo, quindi il discriminante deve essere un quadrato:
$ $5b^2+4b+20=x^2\Rightarrow (5b+2)^2=5x^2-96 $
Sostituisco $ y=5b+2 $ da cui si ottiene:
$ $y^2=5x^2-96 $ ***
Analizzando modulo 3 *** ottengo:
$ $x^2+y^2\equiv 0\pmod{3} $
Perciò sono entrambi divisibili per 3, ma essendo quadrati anche per 9. Analizzando *** mod 9 ottengo:
$ 0\equiv 6\pmod{9} $
Che da l'assurdo.
p.s. ho paura di aver toppato qualche calcolo...
Dimostro che non ci sono soluzioni.
Assumo per assurdo che a,b siano soluzioni.
Risolvo in a la quadratica del testo, quindi il discriminante deve essere un quadrato:
$ $5b^2+4b+20=x^2\Rightarrow (5b+2)^2=5x^2-96 $
Sostituisco $ y=5b+2 $ da cui si ottiene:
$ $y^2=5x^2-96 $ ***
Analizzando modulo 3 *** ottengo:
$ $x^2+y^2\equiv 0\pmod{3} $
Perciò sono entrambi divisibili per 3, ma essendo quadrati anche per 9. Analizzando *** mod 9 ottengo:
$ 0\equiv 6\pmod{9} $
Che da l'assurdo.
p.s. ho paura di aver toppato qualche calcolo...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Problema 53
Trovare tutti gli a,b,c interi maggiori di 1 tali che:
$ $|2^a-b^c|=1 $
p.s. non ho la soluzione ma confido in voi xD Viene dal TST della Croazia, o qualcosa del genere ora non ricordo. Potrebbe essere gia passato da questo forum (se non da questo thread :O)
Trovare tutti gli a,b,c interi maggiori di 1 tali che:
$ $|2^a-b^c|=1 $
p.s. non ho la soluzione ma confido in voi xD Viene dal TST della Croazia, o qualcosa del genere ora non ricordo. Potrebbe essere gia passato da questo forum (se non da questo thread :O)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Ricordo il sempre utile cannone che ti porta a 0 punti in una qualsiasi gara ma fa molto ganzo: http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
Ovviamente non spero me l'accettiate come soluzione.
Ovviamente non spero me l'accettiate come soluzione.
Che non te l'accetto qui non ci piove xD
Che porti 0 in una gara... non saprei, ad occhio non ce lo metterebbero un problema che si risolve in mezza riga col teoremone
Che porti 0 in una gara... non saprei, ad occhio non ce lo metterebbero un problema che si risolve in mezza riga col teoremone
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Alur, ci provo io...spero di sbagliare perchè non saprei cosa mettere dopo..
CASO1:2^a-b^c=1
$ 2^a-b^c=1\to 2^a=b^c+1\to c=2k+1 $, per il fatto che i residui modulo 4 sono 0 e 1. Posso fare così:
$ $2^a=(b+1)(\sum_{i=0}^{c-1}{b^i(-1)^{c-1-i}}) $
Però quella somma è dispari perchè fatta da un numero dispari di addendi dispari..
CASO2: 2^a-b^c=-1
$ 2^a=b^c-1 $ quindi o c è pari o b è congruo a 1 modulo 4.
c pari: allora viene fuori $ 2^a=(b^{c/2}-1)(b^{c/2}+1)=d(d+2) $ da cui le soluzioni a=3 b=3 c=2
c dispari:
$ 2^a=(b-1)(\sum_{i=0}^{c-1}{(b^i)}) $ ma allora quella sommatoria ha un numero dispari di addendi dispari, assurdo..
CASO1:2^a-b^c=1
$ 2^a-b^c=1\to 2^a=b^c+1\to c=2k+1 $, per il fatto che i residui modulo 4 sono 0 e 1. Posso fare così:
$ $2^a=(b+1)(\sum_{i=0}^{c-1}{b^i(-1)^{c-1-i}}) $
Però quella somma è dispari perchè fatta da un numero dispari di addendi dispari..
CASO2: 2^a-b^c=-1
$ 2^a=b^c-1 $ quindi o c è pari o b è congruo a 1 modulo 4.
c pari: allora viene fuori $ 2^a=(b^{c/2}-1)(b^{c/2}+1)=d(d+2) $ da cui le soluzioni a=3 b=3 c=2
c dispari:
$ 2^a=(b-1)(\sum_{i=0}^{c-1}{(b^i)}) $ ma allora quella sommatoria ha un numero dispari di addendi dispari, assurdo..
Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
Confucio
Confucio
Era passato si da questo forum: viewtopic.php?t=12575&highlight=catalan
@ reginald: perfetto
@ndp15@ non è lo stesso esercizio anche se è simile
@ndp15@ non è lo stesso esercizio anche se è simile
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Soluzione problema 54. Se $ m\le 3 $ otteniamo le coppie $ (m,n) \in\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,5),(3,5)\} $; se $ n=1 $ allora $ m\in\{2,3\} $; se $ n=m $ allora $ n=2 $. Adesso $ \text{gcd}(mn-1,n)=1 $ e $ mn-1 \mid n^3+1-(mn-1)\phi_3(mn)=n^3(m^3+1) $ cioè se $ (m,n) $ è soluzione allora lo è anche $ (n,m) $, per cui assumiamo wlog $ 1<m<n $. Abbiamo $ mn-1\mid n^3+1+(mn-1)(mn+1)=n^2(n+m^2) $ che implica $ mn-1\le m^2+n \leftrightarrow n\le m+1+\frac{2}{m-1} $. Dato che $ m\ge 4 $ allora resta l'unico caso $ n=m+1 $ che implicherebbe $ m^2+m-1 \mid (m+1)^3-1=m(m^2+3m+3) <m\left(2(m^2+m-1)\right) $, che è assurdo.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Problema 55. a) Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2=3^y $.
b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.
b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.
Ultima modifica di jordan il 18 feb 2010, 18:05, modificato 2 volte in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.