Staffetta tdn

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
dario2994
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Messaggio da dario2994 » 17 feb 2010, 15:11

Problema 52:
Dimostro che non ci sono soluzioni.
Assumo per assurdo che a,b siano soluzioni.
Risolvo in a la quadratica del testo, quindi il discriminante deve essere un quadrato:
$ $5b^2+4b+20=x^2\Rightarrow (5b+2)^2=5x^2-96 $
Sostituisco $ y=5b+2 $ da cui si ottiene:
$ $y^2=5x^2-96 $ ***
Analizzando modulo 3 *** ottengo:
$ $x^2+y^2\equiv 0\pmod{3} $
Perciò sono entrambi divisibili per 3, ma essendo quadrati anche per 9. Analizzando *** mod 9 ottengo:
$ 0\equiv 6\pmod{9} $
Che da l'assurdo.

p.s. ho paura di aver toppato qualche calcolo...
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jordan
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Messaggio da jordan » 17 feb 2010, 15:25

Nein, tutto giusto :wink: a te il 53 :D
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 17 feb 2010, 16:20

Problema 53
Trovare tutti gli a,b,c interi maggiori di 1 tali che:
$ $|2^a-b^c|=1 $

p.s. non ho la soluzione ma confido in voi xD Viene dal TST della Croazia, o qualcosa del genere ora non ricordo. Potrebbe essere gia passato da questo forum (se non da questo thread :O)
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ndp15
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Messaggio da ndp15 » 17 feb 2010, 17:07

Ricordo il sempre utile cannone che ti porta a 0 punti in una qualsiasi gara ma fa molto ganzo: http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture 8)
Ovviamente non spero me l'accettiate come soluzione.

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 17 feb 2010, 17:13

Che non te l'accetto qui non ci piove xD
Che porti 0 in una gara... non saprei, ad occhio non ce lo metterebbero un problema che si risolve in mezza riga col teoremone ;)
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Reginald
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Messaggio da Reginald » 17 feb 2010, 18:10

Alur, ci provo io...spero di sbagliare perchè non saprei cosa mettere dopo..

CASO1:2^a-b^c=1
$ 2^a-b^c=1\to 2^a=b^c+1\to c=2k+1 $, per il fatto che i residui modulo 4 sono 0 e 1. Posso fare così:

$ $2^a=(b+1)(\sum_{i=0}^{c-1}{b^i(-1)^{c-1-i}}) $
Però quella somma è dispari perchè fatta da un numero dispari di addendi dispari..
CASO2: 2^a-b^c=-1
$ 2^a=b^c-1 $ quindi o c è pari o b è congruo a 1 modulo 4.
c pari: allora viene fuori $ 2^a=(b^{c/2}-1)(b^{c/2}+1)=d(d+2) $ da cui le soluzioni a=3 b=3 c=2
c dispari:
$ 2^a=(b-1)(\sum_{i=0}^{c-1}{(b^i)}) $ ma allora quella sommatoria ha un numero dispari di addendi dispari, assurdo..
Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
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Messaggio da ndp15 » 17 feb 2010, 18:39

Era passato si da questo forum: viewtopic.php?t=12575&highlight=catalan

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Messaggio da dario2994 » 17 feb 2010, 18:54

@ reginald: perfetto
@ndp15@ non è lo stesso esercizio anche se è simile
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Messaggio da ndp15 » 17 feb 2010, 19:00

dario2994 ha scritto: @ndp15 non è lo stesso esercizio anche se è simile
Hai ragione :wink:

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Reginald
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Messaggio da Reginald » 17 feb 2010, 19:00

Ah ecco, mi pareva di averlo già visto..beh mi sento un po' ladro verso veluca :oops: ..cercherò qualcosa...
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Messaggio da Reginald » 18 feb 2010, 14:14

E' un vecchio IMO...spero non sia già stato postato..

Trovare tutte le coppie (m;n) di interi positivi per cui $ $\frac{n^3+1}{mn-1} $ è intero.
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Messaggio da jordan » 18 feb 2010, 17:52

Soluzione problema 54. Se $ m\le 3 $ otteniamo le coppie $ (m,n) \in\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,5),(3,5)\} $; se $ n=1 $ allora $ m\in\{2,3\} $; se $ n=m $ allora $ n=2 $. Adesso $ \text{gcd}(mn-1,n)=1 $ e $ mn-1 \mid n^3+1-(mn-1)\phi_3(mn)=n^3(m^3+1) $ cioè se $ (m,n) $ è soluzione allora lo è anche $ (n,m) $, per cui assumiamo wlog $ 1<m<n $. Abbiamo $ mn-1\mid n^3+1+(mn-1)(mn+1)=n^2(n+m^2) $ che implica $ mn-1\le m^2+n \leftrightarrow n\le m+1+\frac{2}{m-1} $. Dato che $ m\ge 4 $ allora resta l'unico caso $ n=m+1 $ che implicherebbe $ m^2+m-1 \mid (m+1)^3-1=m(m^2+3m+3) <m\left(2(m^2+m-1)\right) $, che è assurdo.
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Messaggio da jordan » 18 feb 2010, 17:58

Problema 55. a) Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2=3^y $.

b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.
Ultima modifica di jordan il 18 feb 2010, 18:05, modificato 2 volte in totale.
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Rosinaldo
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Messaggio da Rosinaldo » 18 feb 2010, 18:01

jordan ha scritto:Problema 55. Trovare tutti gli $ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ tali che $ 7^x+2=3^y $.
$ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ scusa l'ignoranza senza confini ma non capisco quale sia questo insieme!
Eh questo?
Questo non va bene...
Morto...

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 18 feb 2010, 18:06

Rosinaldo ha scritto: $ (x,y)\in \mathbb{N}_0^2 $ scusa l'ignoranza senza confini ma non capisco quale sia questo insieme!
L'insieme è $ \mathbb{N} $ da cui si esclude l'elemento 0.

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