Innanzitutto grazie di aver cambiato problema, anche se l'11 mi sembra molto interessante, e mi piacerebbe conoscere la soluzione un giorno..federiko97 ha scritto:Problema 12:
Sia $ m \in \mathbb{N}_0 $ e $ (x_0, y_0) \in (\mathbb{N}_0)^2 $ la più piccola soluzione all'equazione $ x^2-3y^2=m $, che per ipotesi esiste. Si trovi trovi un upper bound di $ x_0 $.
Detto questo passiamo al tuo problemino, che ho impiegato tutto il pomeriggio per risolverlo
Ho aggiunto comunque al testo quotato l'ipotesi che almeno una soluzione esista, perchè per esempio $ x^2-3y^2=5 $ pare non ne abbia molte (3 non è un residuo quadratico modulo 5, e per la precisione se $ 2<p \mid m $ allora $ 12 \mid p^2-1 \leftrightarrow \left(\frac{3}{p}\right)=1 $) per cui non mi sembrava molto corretto definire un upper bound.
L'idea base comunque si fonda sul fatto che se $ (x_0,y_0) $ è soluzione, allora $ m=x_0^2-3y_0^2=(2x_0+3y_0)^2-3(x_0+2y_0)^2 $ per cui anche $ (2x_0+3y_0,x_0+2y_0) $ lo è. Definiamo per comodità $ z:=x+2y $: proviamo a definire il polinomio in due variabili $ p(t,z)=(z-2t)^2-3t^2-m $ e definiamo la successione degli $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{Z}} $ rispetto al polinomio tale che $ a_0=y_0 $, $ a_{-1} \le a_1 $ sono le due radici di $ p(a_0,z) $. Si vede meravigliosamente che $ a_0 $ è una radice di $ p(a_1,z) $: bene, l'altra radice chiamiamola $ a_2 $. Ma anche $ a_1 $ è radice di $ p(a_2,z) $, allora definiamo $ a_3 $ l'altra radice. E così via, sia per indici negativi che positivi. Ma dato che $ 2\alpha-\sqrt{(2\alpha)^2-(\alpha^2-m)}<\alpha<2\alpha+\sqrt{(2\alpha)^2-(\alpha^2-m)} $, allora se $ p(\alpha,z)=0 $ e $ z_1<z_2 $ sono le sue radici sarà vero che $ z_1<\alpha<z_2 $. Ciò è equivalente ad affermare che la successione degli $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{Z}} $ è strettamente crescente.
Ma $ a_0=y_0 $ non lo conosciamo, per cui poniamo wlog che sia il più piccolo termine non negativo della successione. Per come è stato definito il polinomio allora $ a_0^2-m=a_{-1}a_1<0 \implies y_0=a_0 < \sqrt{m} $. Ma allora $ x_0= \sqrt{ 3y_0^2+m } < 2\sqrt{m} $.
Aspetto tue notizie.. bel problema
Edit: Un bound un poco migliore qui ..(<-- cancellato sei un grande simo)
Edit2: l'esempio di sopra è addirittura impossibile modulo 3