Onore agli Z-trucchi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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geda
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Onore agli Z-trucchi

Messaggio da geda » 04 feb 2009, 13:58

Probabilmente gia' postata....

Trovare tutte le quaterne di interi positivi $ (x,y,z,t) $ tali che $ 1+5^x=2^y+2^z5^t $. Buon lavoro

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Reginald
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Messaggio da Reginald » 04 feb 2009, 21:04

Poniamo $ y,x>1 $
$ 5^x\equiv -1\pmod 4 $ Quindi non va bene.
Allora o
$ 5^x+1=2+2^z5^t $ oppure
$ 5^x+1=2^y+2*5^t $.
La prima è falsa perchè il primo membro è congruo a 1 modulo 5 mentre il secondo è congruo a 2.
La seconda è vera solo se $ y=4h $ per congruenze modulo 5, allora y è pari. Poniamo $ MCD(5^x, 5*5^t)>5 $ allora:

$ 5^b(5^{x-b}-2)=2^y-1 $. y è multiplo di 4, lo abbiamo visto sopra. $ 5^{x-b}-2\equiv 3\pmod 4 $. Ma allora 1 dovrebbe essere residuo quadratico modulo un numero congruo a 3 modulo 4. Un numero congruo a 3 modulo 4 ha sempre un primo congruo a 3 modulo 4 tra i suoi divisori. L'ordine moltiplicativo di $ 2^y $ è un multiplo di 4 mentre la phi, del primo congruo a 3 modulo 4 che divide $ 5^{x-b}-2 $, no. Non va bene.

Resta il caso $ 5^x=2^y+11 $. Per congruenze modulo 5 y è pari. Ma allora il secondo membreo è multiplo di 3. Non va bene neppure questa.
Se lo 0 non è un intero positivo, allora se non ho errato non ci sono soluzioni.

Spero di non aver scritto eresie. Chi me la corregge?

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julio14
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Messaggio da julio14 » 04 feb 2009, 21:13

2;4;1;1

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