n=(d(n))^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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geda
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n=(d(n))^2

Messaggio da geda » 25 gen 2009, 15:33

Determinare tutti gli interi positivi con la proprieta' che $ n=(d(n))^2 $. Qui $ d(n) $ denota il numero dei divisori positivi di $ n $.

travelsga
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Messaggio da travelsga » 26 gen 2009, 13:54

Sia $ $\displaystile\ n=\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}} $ la fattorizzazione di n; da $ $\displaystile\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}}=\prod_{i=1}^k{(a_i+1)^2} $, si deduce che n è un quadrato perfetto dispari e pertanto vale $ $\displaystile\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}}\geq \prod_{i=1}^k{3^{a_i}} $, ma $ (a_i+1)^2\le 3^{a_i} $ per ogni n>=2 (induzione), quindi $ $\displaystile\prod_{i=1}^k{(a_i+1)^2}\le \prod_{i=1}^k{3^{a_i}} $. Deve essere $ (a_i+1)^2=3^{a_i} $ che si ha per $ a_i=2 $. Per cui l'uguaglianza è verificata solo per n=9.

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