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Forse gia' visto, rivisto e postato..... comunque utile

Trovare nei numeri interi tutte le soluzioni $ (x,y) $ dell'equazione diofantea $ x^2+1=y^3 $

$ y^3-1=x^2 $
$ (y-1)(y^2+y+1)=x^2 $
Ora senza scendere nei complessi il LHS è inscomponibile ulteriormente. Quindi perchè il LHS sia un quadrato è necessario o che il primo fattore sia uguale al secondo, oppure che uno dei due fattori sia uguale a uno e il secondo sia un quadrato, oppure che entrambi siano quadrati.
Si vede che non possono essere uguali, perchè $ y-1=y^2+y+1 $ diventa $ y^2=-2 $ che non ha soluzioni in R.
Poniamo il caso che uno dei due sia uguale a 1.
1) $ y-1=1 $ ovvero $ y=2 $. Per tale valore di y, $ x^2=7 $ che non è un quadrato.
2) $ y^2+y+1=1 $ ovvero $ y^2+y=0 $ quindi $ y(y+1)=0 $ che ha come soluzioni $ y=0 $ e $ y=-1 $. Per $ y=0 $ x vale -1 che non è un quadrato. Per $ y=-1 $ x vale -2 che non è un quadrato.
Non ci resta che considerare i casi in cui sia $ y-1 $ che $ y^2+y+1 $ sono quadrati.
Ricordiamo che i quadrati modulo 4 sono equivalenti a 0 se pari, a 1 se dispari.
Ammettiamo che $ y-1=0 (4) $ ma allora $ y=1 (4) $ e $ y^2+y+1=3 (4) $ quindi se $ y-1 $ è un quadrato pari l'altro fattore non è un quadrato.
Ammettiamo che $ y-1=1 (4) $ ma allora $ y=2 (4) $ e $ y^2+y+1=7=3 (4) $. Quindi se $ y-1 $ è un quadrato dispari l'altro fattore non è un quadrato.

I casi possibili sono terminati e soluzioni non ne sono state trovate quindi la diofantea $ y^3-1=x^2 $ non ha soluzioni negli interi. (A meno di miei errori nella dimostrazione!! )

Fedecart ha scritto:Ora senza scendere nei complessi il LHS è inscomponibile ulteriormente.

mi sfugge come usi ciò... per l'uguaglianza, funziona la riga di dimostrazione che hai messo dopo, ma non vedo perché serva parlare dell'uguaglianza, mentre per i quadrati puoi dirlo solo se i due fattori con la y sono primi tra loro.

Scusami davvero non ho capito... In pratica io ho tenuto conto che se due fattori moltiplicati danno un quadrato, allora o sono entrambi quadrati, o uno è uno e l'altro è un quadrato, oppure sono identici, e ho analizzato i vari casi...

$ $6\cdot150=30^2 $
p.s. il caso "uno è 1 è l'altro è un quadrato" rientra nel caso "sono entrambi quadrati"

anticipato da julio14

julio14 ha scritto:$ $6\cdot150=30^2 $
p.s. il caso "uno è 1 è l'altro è un quadrato" rientra nel caso "sono entrambi quadrati"

mmm si certo, che scemo che sono! quindi in pratica tutto quello che ho dimostrato è solo che non possono essere identici, nè entrambi quadrati, ma non ho provato l'assenza di soluzioni, giusto?[/tex]

Beh si... in questi casi è comodo far considerazioni sull'MCD per poi usare (questa volta giustamente) una via simile alla tua.

Fedecart ha scritto: mmm si certo, che scemo che sono! quindi in pratica tutto quello che ho dimostrato è solo che non possono essere identici, nè entrambi quadrati, ma non ho provato l'assenza di soluzioni, giusto?

No, ma la strada giusta non mi sembra molto lontana da quella che hai seguito

Cioè considerazioni sull'MCD? Non capisco...!
Credo di essere riuscito a dimostrare che x è pari e che y è congruo a +o- 1 mod 4... non so quanto possa essere utile però. Mi blocco in continuazione

Fedecart ha scritto:Cioè considerazioni sull'MCD? Non capisco...!

Puoi dimostrare se e quando i due fattori $ (y-1) $ e $ (y^2+y+1) $ sono primi fra loro? Se riuscissi a dimostrare che lo sono (magari non lo sono solo in un numero finito di casi) dovresti per forza ripiegare sul fatto che devono essere entrambi quadrati, ma hai gia' dimostrato che non lo possono essere...

Fatto... Dovrebbero essere primi fra loro eccetto che nei casi in cui y=-2, 0, 2, 4
E' così?

Questo è un quesito molto famoso, se lo era posto un grande matematico e lo aveva risolto con una dimostrazione pazzesca. C'è un'unica soluzione, escludendo lo 0, trovatela a mano...

Alla fine viene che l'unica coppia è (0,1) no?

Mah anche secondo me esce alla fine che l'unica è (0,1)! Attendo conferme da Geda