diofantea febbraiesca

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bestiedda
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diofantea febbraiesca

Messaggio da bestiedda » 26 dic 2008, 19:13

trovare le soluzioni intere positive dell'equazione


$ $x^x - 2^x - x^2=10 $
marco

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 26 dic 2008, 19:32

$ x=3 $
ed è anche unica

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 26 dic 2008, 19:37

Fedecart ha scritto:$ x=3 $
ed è anche unica
ok ora la dimostrazione
marco

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kn
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Messaggio da kn » 26 dic 2008, 20:49

dimostro che se x > 3 allora $ x^x-2^x>x^2+10 $
$ x^x-2^x\ge x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\ge x^2+2x+4\ge x^2+2\cdot 3+4\ge x^2+10 $,
con ogni possibile uguaglianza se e solo se x = 3, quindi 3 è una soluzione
Se x < 3 $ x^x-2^x \le 2^x-2^x = 0 $, minore del secondo membro che è certamente positivo. :D

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Messaggio da Fedecart » 26 dic 2008, 21:44

kn ha scritto:dimostro che se x > 3 allora $ x^x-2^x>x^2+10 $
$ x^x-2^x\ge x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\ge x^2+2x+4\ge x^2+2\cdot 3+4\ge x^2+10 $,
con ogni possibile uguaglianza se e solo se x = 3, quindi 3 è una soluzione
Se x < 3 $ x^x-2^x \le 2^x-2^x = 0 $, minore del secondo membro che è certamente positivo. :D
Stesso mio procedimento! Mi hai battuto sul tempo, non ho ce l'ho fatta a postarlo! :roll:

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