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Un numero, tre cifre

Inviato: 07 dic 2008, 00:21
da Enrico Leon
Se un numero positivo $ N $ viene rappresentato in base 9 esso ha tre cifre. Esprimendo $ N $ in base 6 esso ha ancora tre cifre, ma scritte in ordine inverso. Qual è la cifra di mezzo?

Inviato: 07 dic 2008, 00:58
da jordan
e perche non tutto il numero? :D

Inviato: 07 dic 2008, 23:28
da exodd
il numero in base 9 sarà XYZ, mentre in base 6 sarà ZYX
il che vuol dire che $ 81x+9y+z=36z+6y+x $
cioè $ y=\frac{35z-80x}{3} $
ciò vuol dire che y è multiplo di 5, quindi è 0 o 5 visto che si può scrivere in base 6(anche se non cambia anche se fosse stato in base 10)
se $ y=0 $ allora $ 7z=16x $, il che è possibile solo se $ z=x=0 $ e qui si dovrebbe aprire il discorso sul se il numero 000 sia accettabile in quanto nessuno ha specificato cifre significative...
altrimenti $ y=5 $...

@ jordan: $ 7z-16x=3 $, per $ x,z<6 $, viene solo per $ z=5 $ e $ x=2 $

Inviato: 08 dic 2008, 14:58
da Fedecart
Sono arrivato a metà del tuo ragionamento... E li mi sono fermato. Non sono riuscito a notare che Y è multiplo di 5... Rabbia...

Inviato: 09 dic 2008, 01:00
da antosecret
Fedecart ha scritto:Sono arrivato a metà del tuo ragionamento... E li mi sono fermato. Non sono riuscito a notare che Y è multiplo di 5... Rabbia...
Guarda:
$ y=\frac{35z-80x}{3}=\frac{5\cdot(7z-16x)}{3}=5\cdot\frac{7z-16x}{3} $
Poichè y è un intero ne segue necessariamente che 7z-16x è divisibile per 3 e quindi y resta comunque divisibile per 5

Inviato: 10 dic 2008, 09:43
da Cassa
Usare le congruenze era troppo facile? :lol:

Inviato: 11 dic 2008, 00:10
da antosecret
:oops: in effetti... :oops: