Un numero, tre cifre

[Enrico Leon]

Se un numero positivo $ N $ viene rappresentato in base 9 esso ha tre cifre. Esprimendo $ N $ in base 6 esso ha ancora tre cifre, ma scritte in ordine inverso. Qual è la cifra di mezzo?

[jordan]

e perche non tutto il numero?

[exodd]

il numero in base 9 sarà XYZ, mentre in base 6 sarà ZYX
il che vuol dire che $ 81x+9y+z=36z+6y+x $
cioè $ y=\frac{35z-80x}{3} $
ciò vuol dire che y è multiplo di 5, quindi è 0 o 5 visto che si può scrivere in base 6(anche se non cambia anche se fosse stato in base 10)
se $ y=0 $ allora $ 7z=16x $, il che è possibile solo se $ z=x=0 $ e qui si dovrebbe aprire il discorso sul se il numero 000 sia accettabile in quanto nessuno ha specificato cifre significative...
altrimenti $ y=5 $...

@ jordan: $ 7z-16x=3 $, per $ x,z<6 $, viene solo per $ z=5 $ e $ x=2 $

[Fedecart]

Sono arrivato a metà del tuo ragionamento... E li mi sono fermato. Non sono riuscito a notare che Y è multiplo di 5... Rabbia...

[antosecret]

Sono arrivato a metà del tuo ragionamento... E li mi sono fermato. Non sono riuscito a notare che Y è multiplo di 5... Rabbia...

Guarda:
$ y=\frac{35z-80x}{3}=\frac{5\cdot(7z-16x)}{3}=5\cdot\frac{7z-16x}{3} $
Poichè y è un intero ne segue necessariamente che 7z-16x è divisibile per 3 e quindi y resta comunque divisibile per 5

[Cassa]

Usare le congruenze era troppo facile?

[antosecret]

in effetti...