Cesenatico 1991 - 2° problema

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
fraroot
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Messaggio da fraroot » 02 dic 2008, 22:23

Scusa...dimenticavo...dato che $ MCD(a, a^2+3a+1)=1 $ allora sia $ a $ che $ a^2+3a+1 $ devono essere quadrati perfetti, pertanto se suppongo $ a $ come quadrato perfetto allora $ \sqrt{a} $ è sicuramente intero.

Sbaglio qualcosa?

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Bellaz
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Messaggio da Bellaz » 03 dic 2008, 13:17

jordan ha scritto:
bestiedda ha scritto:sicuramente c'è un modo più elegante
[edit: cancellato: vedi soluzione di Bellaz
@Bellaz, scusa non avevo letto il tuo post]
Vai tra... :wink: :wink:
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)

pig-di
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Messaggio da pig-di » 12 dic 2008, 13:51

penso è cosi

a^3+3a^2+a=x^2 a,x appartiene Z+
a(a+1)^2=x^2-a^2

x=ka siccome x,a appartiene Z+, k appartiene Q+

a(a+1)^2=(ka)^2-a^2
(a+1)^2=a(k^2-1)
k=radice:(a^2+3a+1)/a

sapiamo che a^2+3a+1 e tra (a+1)^2 e (a+2)^2, quindi tra due Z+ successive non esiste un altro Z , allora, k non è Q, quindi ka non è Q,

allora a^3+3a^2+a non è un quadrato di Z :D

Inkio
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Messaggio da Inkio » 04 gen 2009, 16:36

Io lo avevo risolto in amniera diversa...
Dobbiamo dimostrare che $ a^2 + 3*a + 1 $ non è un quadrato.
facciao finta che $ a^2 + 3*a + 1=x^2 $
Se cerchiamo di ricavare a ci si accorge che il delta è $ 5+4x^2 $, quindi dato che a è intero, come minimo $ 5+4x^2=y^2 $ e y appartiene a N, dato che ci appartiene x. Ora $ 4x^2=w^2 $, quindi $ 5=(w+y)(y-w) $allora w è 2 e y è 3.
Ma dato che w è un multiplo di 4 ($ 4x^2=w^2 $), e in questo caso è 2, la situazione è assurda.
...non so di cosa tu stia parlando, giuda ballerino..

drago90
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Messaggio da drago90 » 05 gen 2009, 15:31

scusate,sono nuovo di questo genere di problemi, ma non basta scomporre in $ a(a+(3+\sqrt{5})/2)(a+(3-\sqrt{5})/2) $ e vedere che a non può,essendo primo, rendere interi sia la prima che la seconda parentesi? chiedo scusa se ho scritto qualche cavolata.. :D

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 05 gen 2009, 16:03

nn e detto, il prodotto di due numeri irrazionali puo essere benissimo un intero e quindi anke un quadrato, considera i seguenti: $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{8} $ il loro prodotto e 4. cmq nn aver paura di kiedere, siamo tt qui x imparare :wink:
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