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Consideriamo le somme del tipo $ \pm 1\pm 4\pm 9\pm 16\cdots\pm n^2 $. Dimostrare che ogni numero intero positivo si puo` rappresentare, per una opportuna scelta dei segni e di $ n $, nel modo precedente. (Per esempio: $ 3=-1+4 $; $ 8=+1-4-9+16+25-36-49+64 $.)

8=-1+9
perche' rendersi la vita difficile?

cambiando i segni possiamo estendere a tutti gli interi e ovviamente n deve tendere a infinito.

Sì, ma devi usare tutti i quadrati da 1 a n.

E poi secondo me dà un grande aiuto scritto così! (e tra l'altro è l'esempio originale del problema)

Carino il problema!

g(n) ha scritto:E poi secondo me dà un grande aiuto scritto così! (e tra l'altro è l'esempio originale del problema)

Già, soprattutto quando scrive $ $8=+1-4-9+16+25-36-49+64$ $

Anér ha scritto:Sì, ma devi usare tutti i quadrati da 1 a n.

Oggi e' proprio la giornata dei post "distratti" per me

Lemma 1: è possibile scrivere ogni numero intero come differenza (/ somma) di quadrati di numeri interi

Sia $ \phi $ l' "applicazione" che riscrive ogni intero nella forma voluta con alcuni quadrati:

$ \phi(2) = 16 - 9 - 4 - 1 $
$ \phi(3) = 16 - 9 - 4 $
$ \phi(4) = 49 - 36 - 9 $
$ k>1, \phi(2k + 1) = (k+1)^2 - k^2 $
$ k>1, \phi(4k) = (k+1)^2 - (k-1)^2 $
$ k>2, k \equiv 1 (mod 4), \phi(2k) = \phi(2k + 1) - 1 $

Si può provare che $ \phi(x) $ contiene una somma con fattori tutti diversi da x.

Lemma 2: si può completare $ \phi(x) $ a una somma e una differenza di tutti i quadrati minori di un certo termine. Se manca il quadrato y, allora si può aggiungere il termine (banalmente uguale a 0)

$ y - \phi(y) $

Senza modificare il tutto.

Si può procedere a scrivere il numero x come somma e differenza di tutti i quadrati minori di un certo termine col seguente procedimento:

1- Si applica $ \phi $ a x secondo il lemma 1
2- Si completa $ \phi(x) $ secondo il lemma 2

Se alcuni fattori avessero coefficienti diversi dalle unità, è possibile applicare ad essi l'"applicazione" $ \eta $ tale che:

$ \eta(\beta\alpha) = sgn(\beta)(\alpha + \phi((\beta - 1)\alpha)) $

Iterando il procedimento fino ad ottenere una somma di quadrati avente coefficienti unitari.

Per esempio:

$ \phi(8) = 9 - 1 = 9 - 1 + 4 - \phi(4) = 9 - 1 + 4 - 49 + 36 + 9 = -1 + 4 + 36 - 49 + 2*9 = -1 + 4 + 36 - 49 + 9 + \phi(9) = -1 + 4 + 9 - 16 + 25 + 36 - 49 $

Oppure:
$ n^2-(n+1)^2-(n+2)^2+(n+3)^2=4 $
quindi se $ x\equiv 0\pmod{4} $ basta sommare "quartine" a sufficienza a partire da $ 1-4-9+16 $ e si ottiene x
se $ x\equiv 1\pmod{4} $ si parte da 1 e si aggiunge $ (4-9-16+25)+\dots $
se $ x\equiv 2\pmod{4} $ si parte da $ (1-4+9)-(16-25-36+49)=2 $
se $ x\equiv 3\pmod{4} $ si parte da $ -1+4=3 $