Cesenatico 1991, 3rd

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
geda
Messaggi: 125
Iscritto il: 30 ott 2007, 12:03

Cesenatico 1991, 3rd

Messaggio da geda » 30 nov 2008, 13:00

Consideriamo le somme del tipo $ \pm 1\pm 4\pm 9\pm 16\cdots\pm n^2 $. Dimostrare che ogni numero intero positivo si puo` rappresentare, per una opportuna scelta dei segni e di $ n $, nel modo precedente. (Per esempio: $ 3=-1+4 $; $ 8=+1-4-9+16+25-36-49+64 $.) :wink:

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 30 nov 2008, 17:22

8=-1+9 ;)
perche' rendersi la vita difficile?

cambiando i segni possiamo estendere a tutti gli interi e ovviamente n deve tendere a infinito.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Avatar utente
Anér
Messaggi: 720
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Messaggio da Anér » 30 nov 2008, 17:32

Sì, ma devi usare tutti i quadrati da 1 a n.
Sono il cuoco della nazionale!

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 30 nov 2008, 17:55

E poi secondo me dà un grande aiuto scritto così! (e tra l'altro è l'esempio originale del problema)

Avatar utente
mod_2
Messaggi: 726
Iscritto il: 18 ago 2007, 20:26
Località: In fondo a destra

Messaggio da mod_2 » 30 nov 2008, 18:34

Carino il problema!
g(n) ha scritto:E poi secondo me dà un grande aiuto scritto così! (e tra l'altro è l'esempio originale del problema)
Già, soprattutto quando scrive $ $8=+1-4-9+16+25-36-49+64$ $ :D
Appassionatamente BTA 197!

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 01 dic 2008, 03:45

Anér ha scritto:Sì, ma devi usare tutti i quadrati da 1 a n.
:? Oggi e' proprio la giornata dei post "distratti" per me
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Northwood
Messaggi: 45
Iscritto il: 11 lug 2005, 15:58
Località: Verona

Messaggio da Northwood » 01 dic 2008, 15:46

Lemma 1: è possibile scrivere ogni numero intero come differenza (/ somma) di quadrati di numeri interi

Sia $ \phi $ l' "applicazione" che riscrive ogni intero nella forma voluta con alcuni quadrati:

$ \phi(2) = 16 - 9 - 4 - 1 $
$ \phi(3) = 16 - 9 - 4 $
$ \phi(4) = 49 - 36 - 9 $
$ k>1, \phi(2k + 1) = (k+1)^2 - k^2 $
$ k>1, \phi(4k) = (k+1)^2 - (k-1)^2 $
$ k>2, k \equiv 1 (mod 4), \phi(2k) = \phi(2k + 1) - 1 $

Si può provare che $ \phi(x) $ contiene una somma con fattori tutti diversi da x.

Lemma 2: si può completare $ \phi(x) $ a una somma e una differenza di tutti i quadrati minori di un certo termine. Se manca il quadrato y, allora si può aggiungere il termine (banalmente uguale a 0)

$ y - \phi(y) $

Senza modificare il tutto.

Si può procedere a scrivere il numero x come somma e differenza di tutti i quadrati minori di un certo termine col seguente procedimento:

1- Si applica $ \phi $ a x secondo il lemma 1
2- Si completa $ \phi(x) $ secondo il lemma 2

Se alcuni fattori avessero coefficienti diversi dalle unità, è possibile applicare ad essi l'"applicazione" $ \eta $ tale che:

$ \eta(\beta\alpha) = sgn(\beta)(\alpha + \phi((\beta - 1)\alpha)) $

Iterando il procedimento fino ad ottenere una somma di quadrati avente coefficienti unitari.

Per esempio:

$ \phi(8) = 9 - 1 = 9 - 1 + 4 - \phi(4) = 9 - 1 + 4 - 49 + 36 + 9 = -1 + 4 + 36 - 49 + 2*9 = -1 + 4 + 36 - 49 + 9 + \phi(9) = -1 + 4 + 9 - 16 + 25 + 36 - 49 $

Avatar utente
kn
Messaggi: 508
Iscritto il: 23 lug 2007, 22:28
Località: Sestri Levante (Genova)
Contatta:

Messaggio da kn » 01 dic 2008, 18:45

Oppure:
$ n^2-(n+1)^2-(n+2)^2+(n+3)^2=4 $
quindi se $ x\equiv 0\pmod{4} $ basta sommare "quartine" a sufficienza a partire da $ 1-4-9+16 $ e si ottiene x
se $ x\equiv 1\pmod{4} $ si parte da 1 e si aggiunge $ (4-9-16+25)+\dots $
se $ x\equiv 2\pmod{4} $ si parte da $ (1-4+9)-(16-25-36+49)=2 $
se $ x\equiv 3\pmod{4} $ si parte da $ -1+4=3 $
:lol:

Rispondi