cortona
Re: cortona
Mi sembra che sia soltanto casistica.bestiedda ha scritto:determinare le soluzioni positive della diofantea $ $p^x-y^p=1 $ con $ $p $ primo
Caso 1: p=2
$ $2^x-y^2=1 $
Se $ $x \ge 2$ $ allora $ $-y^2=1 \pmod{4}$ $ assurdo, e quindi $ $x=1 \Longrightarrow 2-y^2=1 \Longrightarrow y=1$ $.
Una soluzione può essere: $ $x=1;~y=1~p=2$ $.
Caso 2: p>2
$ $p^x=1+y^p=(1+y)(1-y+y^2...+y^{p-1})$ $
Chiamo
$ $(1+y)=p^{\alpha}$ $ e $ $(1-y+y^2...+y^{p-1})=p^{\beta}$ $ con $ $\alpha+\beta=x$ $
Caso 2.1: $ $\alpha=0$ $
$ $1+y=p^{\alpha}=p^0=1 \Longrightarrow y=0$ $ non accettabile
Caso 2.2: $ $\alpha=1$ $
$ $p^x=1+y^p=1+(p-1)^p=1+p^p-\binom{p}{p-1}p^{p-1}+...+p^2-1 \equiv p^2 \pmod{p^3} \Longrightarrow x=2$ $
Riscriviamo: $ $p^2-1=(p-1)^p \Longrightarrow (p+1)(p-1)=(p-1)^p \Longrightarrow p+1=(p-1)^{p-1}$ $$ $p=((p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1)((p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1) \Longrightarrow (p-1)^{\frac{p-1}{2}}=2$ $. Da cui $ $p=3;~x=2;~y=2$ $
Caso 2.3: $ {\alpha>1$ $
Lemma: $ $p^{\beta} \ge p^{\alpha} ~~~ \forall ~ y>1$ $
Dimostrazione per l'induzione:
Passo base: $ $1+y \le1-y+y^2 \Longrightarrow 2y \le y^2 \Longrightarrow 2 \le y$ $ OK
Passo induttivo: $ $1+y \le 1-y+y^2...+y^{2k} \Longrightarrow 1+y \le 1-y+y^2...+y^{2k}-y^{2k+1}+y^{2k+2}$ $ che è certamente vera perché $ $-y^{2k+1}+y^{2k+2}>0$ $
$ $1+y=p^{\alpha} \Longrightarrow y \equiv -1 \pmod{p^{\alpha}} \Longrightarrow p^{\beta} \equiv p \pmod{p^{\alpha}}$ $
ma $ $p^{\beta}$ $ deve essere$ $\ge p^{\alpha}$ $ assurdo.
Quindi le soluzioni sono:
$ $x=1;~y=1;~p=2$ $
$ $x=2;~y=2;~p=3$ $
Adesso chi ha voglia di correggerlo?
Appassionatamente BTA 197!
Da quel che sapevo, lo scopo del gioco è ricondurre cose difficili a cose facili, non viceversadario2994 ha scritto:Tanto per prendere a cannonate basta dividere in 2 casi:x=1 e non.
Per x=1 si dimostra che l'unica tripla che soddisfa è (x,y,p)=1,1,2
Per x diverso da 1 per il teorema di Catalan l'unica soluzione è (x,y,p)=(2,2,3)... so che non è olimpica, ma dovrebbe fungere
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Infatti ho barato xDpiever ha scritto: Da quel che sapevo, lo scopo del gioco è ricondurre cose difficili a cose facili, non viceversa :P
Comunque tanto per tornare in-topic... in una gara olimpica in una dimostrazione posso usare qualche teoremone per dimostrare qualcosa di relativamente semplice (come ora per esempio...)???
Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...
Poi, nelle gare internazionali non capiterà quasi mai che ci siano problemi equivalenti a teoremi noti e difficili (o loro casi particolari).
In generale (e soprattutto a livello nazionale e sul forum) l'idea guida è il buon senso: se il teoremone in questione risolve tutto in una riga ed è più difficile da dimostrare dell'esercizio, forse non è il caso di usarlo...
Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...
EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
Zingarelli ha scritto:Indigente, vc. dotta, lat. indigente(m) part. pres. di indigere: Che si trova in assoluta povertà. Sin. Bisognoso.
[...]
Indulgere, vc. dotta, lat. indulgere, di etim. incerta: A v. intr. Essere, mostrarsi accondiscendente; B v.tr. lett. 1 Permettere, accordare; 2 Perdonare.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
L'ho sempre detto che fare il Liceo Classico aiuta molto alle olimpiadi di matematica...FeddyStra ha scritto:Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...Zingarelli ha scritto:Indigente, vc. dotta, lat. indigente(m) part. pres. di indigere: Che si trova in assoluta povertà. Sin. Bisognoso.
[...]
Indulgere, vc. dotta, lat. indulgere, di etim. incerta: A v. intr. Essere, mostrarsi accondiscendente; B v.tr. lett. 1 Permettere, accordare; 2 Perdonare.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
A me sembra che questa frase abbia perfettamente senso.EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Sì, infatti: era per evidenziare la consueta genialità sottesa alle risposte di EvaristeG.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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