cortona

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bestiedda
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cortona

Messaggio da bestiedda » 30 nov 2008, 10:37

determinare le soluzioni positive della diofantea $ $p^x-y^p=1 $ con $ $p $ primo
marco

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mod_2
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Re: cortona

Messaggio da mod_2 » 30 nov 2008, 15:08

bestiedda ha scritto:determinare le soluzioni positive della diofantea $ $p^x-y^p=1 $ con $ $p $ primo
Mi sembra che sia soltanto casistica.


Caso 1: p=2
$ $2^x-y^2=1 $
Se $ $x \ge 2$ $ allora $ $-y^2=1 \pmod{4}$ $ assurdo, e quindi $ $x=1 \Longrightarrow 2-y^2=1 \Longrightarrow y=1$ $.
Una soluzione può essere: $ $x=1;~y=1~p=2$ $.


Caso 2: p>2
$ $p^x=1+y^p=(1+y)(1-y+y^2...+y^{p-1})$ $
Chiamo
$ $(1+y)=p^{\alpha}$ $ e $ $(1-y+y^2...+y^{p-1})=p^{\beta}$ $ con $ $\alpha+\beta=x$ $


Caso 2.1: $ $\alpha=0$ $
$ $1+y=p^{\alpha}=p^0=1 \Longrightarrow y=0$ $ non accettabile


Caso 2.2: $ $\alpha=1$ $
$ $p^x=1+y^p=1+(p-1)^p=1+p^p-\binom{p}{p-1}p^{p-1}+...+p^2-1 \equiv p^2 \pmod{p^3} \Longrightarrow x=2$ $
Riscriviamo: $ $p^2-1=(p-1)^p \Longrightarrow (p+1)(p-1)=(p-1)^p \Longrightarrow p+1=(p-1)^{p-1}$ $$ $p=((p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1)((p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1) \Longrightarrow (p-1)^{\frac{p-1}{2}}=2$ $. Da cui $ $p=3;~x=2;~y=2$ $


Caso 2.3: $ {\alpha>1$ $

Lemma: $ $p^{\beta} \ge p^{\alpha} ~~~ \forall ~ y>1$ $
Dimostrazione per l'induzione:
Passo base: $ $1+y \le1-y+y^2 \Longrightarrow 2y \le y^2 \Longrightarrow 2 \le y$ $ OK
Passo induttivo: $ $1+y \le 1-y+y^2...+y^{2k} \Longrightarrow 1+y \le 1-y+y^2...+y^{2k}-y^{2k+1}+y^{2k+2}$ $ che è certamente vera perché $ $-y^{2k+1}+y^{2k+2}>0$ $

$ $1+y=p^{\alpha} \Longrightarrow y \equiv -1 \pmod{p^{\alpha}} \Longrightarrow p^{\beta} \equiv p \pmod{p^{\alpha}}$ $
ma $ $p^{\beta}$ $ deve essere$ $\ge p^{\alpha}$ $ assurdo.

Quindi le soluzioni sono:
$ $x=1;~y=1;~p=2$ $
$ $x=2;~y=2;~p=3$ $

Adesso chi ha voglia di correggerlo?
Appassionatamente BTA 197!

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 17 mag 2009, 20:51

Tanto per prendere a cannonate basta dividere in 2 casi:x=1 e non.
Per x=1 si dimostra che l'unica tripla che soddisfa è (x,y,p)=1,1,2
Per x diverso da 1 per il teorema di Catalan l'unica soluzione è (x,y,p)=(2,2,3)... so che non è olimpica, ma dovrebbe fungere :)

piever
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Messaggio da piever » 17 mag 2009, 21:15

dario2994 ha scritto:Tanto per prendere a cannonate basta dividere in 2 casi:x=1 e non.
Per x=1 si dimostra che l'unica tripla che soddisfa è (x,y,p)=1,1,2
Per x diverso da 1 per il teorema di Catalan l'unica soluzione è (x,y,p)=(2,2,3)... so che non è olimpica, ma dovrebbe fungere :)
Da quel che sapevo, lo scopo del gioco è ricondurre cose difficili a cose facili, non viceversa :P
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 17 mag 2009, 21:23

piever ha scritto: Da quel che sapevo, lo scopo del gioco è ricondurre cose difficili a cose facili, non viceversa :P
Infatti ho barato xD
Comunque tanto per tornare in-topic... in una gara olimpica in una dimostrazione posso usare qualche teoremone per dimostrare qualcosa di relativamente semplice (come ora per esempio...)???

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 17 mag 2009, 21:44

Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...

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Messaggio da jordan » 17 mag 2009, 21:51

Vedi qui :wink:
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Messaggio da EvaristeG » 18 mag 2009, 11:10

Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...
Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
Poi, nelle gare internazionali non capiterà quasi mai che ci siano problemi equivalenti a teoremi noti e difficili (o loro casi particolari).
In generale (e soprattutto a livello nazionale e sul forum) l'idea guida è il buon senso: se il teoremone in questione risolve tutto in una riga ed è più difficile da dimostrare dell'esercizio, forse non è il caso di usarlo...

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Messaggio da Alex90 » 18 mag 2009, 15:57

...ora mi trovo a vagare nel mio cervello a chiedermi da dove sia venuta la parola indigenti...

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Messaggio da FeddyStra » 18 mag 2009, 16:06

Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...
EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
Zingarelli ha scritto:Indigente, vc. dotta, lat. indigente(m) part. pres. di indigere: Che si trova in assoluta povertà. Sin. Bisognoso.

[...]

Indulgere, vc. dotta, lat. indulgere, di etim. incerta: A v. intr. Essere, mostrarsi accondiscendente; B v.tr. lett. 1 Permettere, accordare; 2 Perdonare.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da piever » 18 mag 2009, 16:18

FeddyStra ha scritto:
Alex90 ha scritto:Teoricamente è giusto ma non ben dispone un correttore che sarà sicuramente meno indigente per il resto del problema...si suppone che se si conosce un teorema lo si sa anche dimostrare...
EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
Zingarelli ha scritto:Indigente, vc. dotta, lat. indigente(m) part. pres. di indigere: Che si trova in assoluta povertà. Sin. Bisognoso.

[...]

Indulgere, vc. dotta, lat. indulgere, di etim. incerta: A v. intr. Essere, mostrarsi accondiscendente; B v.tr. lett. 1 Permettere, accordare; 2 Perdonare.
L'ho sempre detto che fare il Liceo Classico aiuta molto alle olimpiadi di matematica...
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Messaggio da fph » 18 mag 2009, 17:02

EvaristeG ha scritto:Ah, allora ... a parte che se i correttori improvvisamente si trovassero meno indigenti di prima a causa di qualcosa che hai scritto, sarebbero sicuramente felicissimi...
A me sembra che questa frase abbia perfettamente senso.
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Messaggio da FeddyStra » 18 mag 2009, 17:11

Sì, infatti: era per evidenziare la consueta genialità sottesa alle risposte di EvaristeG.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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