Come mio primo post (a parte quelli di presentazione) vi propongo questo esercizio:
Dimostrare che per ogni intero n ≥ 1 il numero reale: $ \sqrt{4n-1} $ è irrazionale
Buon lavoro!
Dimostrazione di irrazionalità
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Provo a prendere un'altra strada...
$ $\sqrt{4n-1}=\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}$ $
Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Se devono essere intere vuol dire che quello che sta al loro interno è un quadrato perfetto. Il problema è che cosi si identificano 2 quadrati perfetti con differenza 2 :|. Situazione assurda perchè la progressione dei quadrati perfetti è anche definibile come funzione ricorsiva con somma di dispari... non so se sono chiaro ma lo spiego meglio:
$ $f(0)=0; f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1$ $
Da cui si deduce che non possono esistere 2 quadrati perfetti con differenza 2. Si poteva anche vedere notando che tra 0 e 1 la differenza è 1 e andando avanti aumenta sempre, partendo da 3,5,7 etc
$ $\sqrt{4n-1}=\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}$ $
Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Se devono essere intere vuol dire che quello che sta al loro interno è un quadrato perfetto. Il problema è che cosi si identificano 2 quadrati perfetti con differenza 2 :|. Situazione assurda perchè la progressione dei quadrati perfetti è anche definibile come funzione ricorsiva con somma di dispari... non so se sono chiaro ma lo spiego meglio:
$ $f(0)=0; f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1$ $
Da cui si deduce che non possono esistere 2 quadrati perfetti con differenza 2. Si poteva anche vedere notando che tra 0 e 1 la differenza è 1 e andando avanti aumenta sempre, partendo da 3,5,7 etc
- FrancescoVeneziano
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