Dimostrazione di irrazionalità

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
fraroot
Messaggi: 7
Iscritto il: 28 nov 2008, 19:54

Dimostrazione di irrazionalità

Messaggio da fraroot »

Come mio primo post (a parte quelli di presentazione) vi propongo questo esercizio:

Dimostrare che per ogni intero n ≥ 1 il numero reale: $ \sqrt{4n-1} $ è irrazionale

Buon lavoro! :)
antosecret
Messaggi: 214
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Catania

Messaggio da antosecret »

deve essere $ 4n-1=a^2 \rightarrow 4n=a^2+1 \rightarrow 0 = a^2+1 \pmod4 $.
Ma i quadrati modulo 4 sono solo 0 oppure 1.
Quindi questa equazione non ha soluzioni intere.
fraroot
Messaggi: 7
Iscritto il: 28 nov 2008, 19:54

Messaggio da fraroot »

Perfetto! Anche io l'ho dimostrato con i residui quadratici modulo 4
dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Messaggio da dario2994 »

Provo a prendere un'altra strada...
$ $\sqrt{4n-1}=\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}$ $
Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Se devono essere intere vuol dire che quello che sta al loro interno è un quadrato perfetto. Il problema è che cosi si identificano 2 quadrati perfetti con differenza 2 :|. Situazione assurda perchè la progressione dei quadrati perfetti è anche definibile come funzione ricorsiva con somma di dispari... non so se sono chiaro ma lo spiego meglio:
$ $f(0)=0; f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1$ $

Da cui si deduce che non possono esistere 2 quadrati perfetti con differenza 2. Si poteva anche vedere notando che tra 0 e 1 la differenza è 1 e andando avanti aumenta sempre, partendo da 3,5,7 etc
EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4896
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG »

Mah, quell'uguaglianza è falsa, dario.
Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 606
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Messaggio da FrancescoVeneziano »

Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 »

dario2994 ha scritto:Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Fra l'altro $ (1+\sqrt 2)+(1-\sqrt 2)=2 $ che è intero :P
[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_
Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 »

FrancescoVeneziano ha scritto:Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.
Uffa solo perchè sono lento a texxare :cry:
[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_
Rispondi