Dimostrazione di irrazionalità

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraroot
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Dimostrazione di irrazionalità

Messaggio da fraroot » 29 nov 2008, 13:54

Come mio primo post (a parte quelli di presentazione) vi propongo questo esercizio:

Dimostrare che per ogni intero n ≥ 1 il numero reale: $ \sqrt{4n-1} $ è irrazionale

Buon lavoro! :)

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 nov 2008, 18:13

deve essere $ 4n-1=a^2 \rightarrow 4n=a^2+1 \rightarrow 0 = a^2+1 \pmod4 $.
Ma i quadrati modulo 4 sono solo 0 oppure 1.
Quindi questa equazione non ha soluzioni intere.

fraroot
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Messaggio da fraroot » 29 nov 2008, 19:47

Perfetto! Anche io l'ho dimostrato con i residui quadratici modulo 4

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 31 dic 2008, 14:41

Provo a prendere un'altra strada...
$ $\sqrt{4n-1}=\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}$ $
Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Se devono essere intere vuol dire che quello che sta al loro interno è un quadrato perfetto. Il problema è che cosi si identificano 2 quadrati perfetti con differenza 2 :|. Situazione assurda perchè la progressione dei quadrati perfetti è anche definibile come funzione ricorsiva con somma di dispari... non so se sono chiaro ma lo spiego meglio:
$ $f(0)=0; f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1$ $

Da cui si deduce che non possono esistere 2 quadrati perfetti con differenza 2. Si poteva anche vedere notando che tra 0 e 1 la differenza è 1 e andando avanti aumenta sempre, partendo da 3,5,7 etc

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 31 dic 2008, 17:17

Mah, quell'uguaglianza è falsa, dario.

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 31 dic 2008, 17:23

Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 31 dic 2008, 17:23

dario2994 ha scritto:Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Fra l'altro $ (1+\sqrt 2)+(1-\sqrt 2)=2 $ che è intero :P
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Messaggio da mitchan88 » 31 dic 2008, 17:25

FrancescoVeneziano ha scritto:Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.
Uffa solo perchè sono lento a texxare :cry:
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