torre di 3

[jordan]

Sia definita la sequenza $ a_1=3, a_{n+1}=3^{a_n} $. Considerando solo le ultime due cifre di tale sequanza, quali coppie di cifre si ripeteranno infinite volte?

Bonus
Sia definita la sequenza $ a_1=c \in \mathbb{N}/\{0\}, a_{n+1}=c^{a_n} ,\forall n \ge 1 $. Considerando tale sequenza modulo $ m \in \mathbb{N} $, quanti sono i residui che si ripeteranno infinite volte?

[String]

Le potenze dispari di 3 finiscono per 3 se l'esponente è $ \equiv 1\pmod 4 $ o per 7 se l'esponente è $ \equiv 3\pmod 4 $. In questa sequenza, tutti gli $ a_i $ sono $ \equiv 3\pmod 4 $ dato che $ 3^{2n+1}\equiv -1^{2n+1}\equiv -1\pmod 4 $. Perciò l'ultima cifra degli $ a_i $ eslcuso $ a_1 $ sarà sempre 7. Poichè le potenze di 3 devono finire sempre per 7, gli $ a_i $ sono della forma $ 7+20k $ (sempre eslcudendo $ a_1 $).Quindi se le ultime 2 cifre delle potenze di 3 si ripetono ogni 20 allora gli $ a_i $ termineranno sempre con le ultime 2 cifre di $ 3^7 $ ovvero 87.
Di sicuro comunque si può dire che le ultime due cifre delle potenze di 3 possono ripetersi massimo dopo 40 potenze dato che l'ultima cifra si ripete ogni 4, mentre la penultima può assumere fino a un massimo 10 valori (da 0 a 9).
Facendo i calcoli a mano solo delle ultime 2 cifre si vede che effettivamente si ripetono ogni 20, ma in generale si potrebbe sapere con certezza in qualche modo?

[jordan]

Facendo i calcoli a mano solo delle ultime 2 cifre si vede che effettivamente si ripetono ogni 20, ma in generale si potrebbe sapere con certezza in qualche modo?

Mmm, charmicheal (si scrive cosi? ) mai sentito?

[String]

No, mai sentito... Facendo qualche ricerca, ho trovato che un numero di Carmichael è un numero dispari che soddisfa il piccolo teorema di Fermat, anche se non è primo...cioè in pratica se $ n $ è un numero di Carmichael allora vale $ a^{n-1}\equiv 1\pmod n $ con a,n coprimi.
Per caso ti riferisci a questo? Come si potrebbe applicare in questo contesto?

[jordan]

Era per il minimo x tale che $ 3^x \equiv 1 \mod 100 $; prova a guardare qui