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Trovare tutte le soluzioni intere di:
x/y=x-y

Dunque, riscriviamo come

$ $y^2 - xy+x=0$ $

risolvendo rispetto ad $ $y$ $

$ $y = \frac{x \pm \sqrt{x^2-4x}}{2}$ $

Quindi

$ ${x^2-4x}$ $

dev'essere un quadrato perfetto (zero incluso). Nel caso sia $ $x^2-4x = 0$ $ arriviamo alla soluzione $ $(x,y) = (4,2)$ $

Dimostriamo che non esistono altre soluzioni, provando che $ $x^2-4x$ $ non può essere un quadrato maggiore di zero.

Ponendo

$ $x^2-4x = n^2$ $
$ $x^2-4x-n^2=0$ $

e risolvendo per $ $x$ $:

$ $x= 2 \pm \sqrt{n^2+4}$ $

Per cui $ $n^2+4$ $ dev'essere a sua volta un quadrato, cosa chiaramente impossibile:

$ $n^2+4 = k^2 \rightarrow k^2 - n^2 = 4 \rightarrow (k-n)(k+n) = 4$ $

che non ha soluzioni intere.

Quindi l'unica soluzione è $ $(x,y) = (4,2)$ $

...

right?

Poichè $ \frac{x}{y} $ deve essere intero pongo $ x=ky $ (con k ovviamente intero). Allora si avrà $ k=y(k-1) $, e quindi $ k-1|k $. Ciò è vero solo per k=2. Quindi x=2y. Sostituendo si trova y=2 e quindi x=4.

Sono stato preceduto di pochissimo...

preceduto anch'io

antosecret ha scritto:Sono stato preceduto di pochissimo...

Ma la tua è molto più elegante

3 modo (questo funziona quasi sempre in situazioni del genere):
$ $x=\frac{y^2}{y-1}=\frac{y^2-1+1}{y-1}=y+1+\frac{1}{y-1} $
quindi $ $y-1|1 $ da cui la soluzione (y-1=-1 ci dà un assurdo).
Il punto è arrivare a un intero determinato fratto una funzione di una variabile, in modo da imporre la funzione come divisore del numeratore. Magari non qua, ma in altri casi ci si risparmia parecchi conti.

edit: azz, 300 messaggi in due secondi... preceduto ben 3 volte!

Solo una nota alla dimostrazione di Haile:
a guardarla di sfuggita dovrebbe essere giusta, ma per fare più in fretta, quando trovi che $ x^2-4x $ deve essere un quadrato, si può notare che $ x^2-4x+4=(x-2)^2 $ è sempre un quadrato, e quindi stiamo cercando due quadrati che distano 4, da cui si chiude velocemente.
Magari qui è più o meno la stessa cosa, ma è un'idea che può essere importante per risolvere altri problemi

g(n) ha scritto:Solo una nota alla dimostrazione di Haile:
a guardarla di sfuggita dovrebbe essere giusta, ma per fare più in fretta, quando trovi che $ x^2-4x $ deve essere un quadrato, si può notare che $ x^2-4x+4=(x-2)^2 $ è sempre un quadrato, e quindi stiamo cercando due quadrati che distano 4, da cui si chiude velocemente.
Magari qui è più o meno la stessa cosa, ma è un'idea che può essere importante per risolvere altri problemi

io lo avevo fatto scomponendo $ x^2-4x=x(x-4) $
da qui la stessa conclusione