Facile Equazione Diofantea

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Enrico Leon
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Facile Equazione Diofantea

Messaggio da Enrico Leon » 24 nov 2008, 18:14

Trovare tutte le soluzioni intere di:
x/y=x-y

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Haile
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Messaggio da Haile » 24 nov 2008, 18:50

Dunque, riscriviamo come

$ $y^2 - xy+x=0$ $

risolvendo rispetto ad $ $y$ $

$ $y = \frac{x \pm \sqrt{x^2-4x}}{2}$ $

Quindi

$ ${x^2-4x}$ $

dev'essere un quadrato perfetto (zero incluso). Nel caso sia $ $x^2-4x = 0$ $ arriviamo alla soluzione $ $(x,y) = (4,2)$ $

Dimostriamo che non esistono altre soluzioni, provando che $ $x^2-4x$ $ non può essere un quadrato maggiore di zero.

Ponendo

$ $x^2-4x = n^2$ $
$ $x^2-4x-n^2=0$ $

e risolvendo per $ $x$ $:

$ $x= 2 \pm \sqrt{n^2+4}$ $

Per cui $ $n^2+4$ $ dev'essere a sua volta un quadrato, cosa chiaramente impossibile:

$ $n^2+4 = k^2 \rightarrow k^2 - n^2 = 4 \rightarrow (k-n)(k+n) = 4$ $

che non ha soluzioni intere.

Quindi l'unica soluzione è $ $(x,y) = (4,2)$ $

...

right?
Ultima modifica di Haile il 24 nov 2008, 18:51, modificato 1 volta in totale.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

antosecret
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Messaggio da antosecret » 24 nov 2008, 18:50

Poichè $ \frac{x}{y} $ deve essere intero pongo $ x=ky $ (con k ovviamente intero). Allora si avrà $ k=y(k-1) $, e quindi $ k-1|k $. Ciò è vero solo per k=2. Quindi x=2y. Sostituendo si trova y=2 e quindi x=4.

antosecret
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Messaggio da antosecret » 24 nov 2008, 18:53

Sono stato preceduto di pochissimo...

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gian92
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Messaggio da gian92 » 24 nov 2008, 18:55

preceduto anch'io :D

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Haile
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Messaggio da Haile » 24 nov 2008, 18:55

antosecret ha scritto:Sono stato preceduto di pochissimo...
Ma la tua è molto più elegante :wink:
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

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julio14
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Messaggio da julio14 » 24 nov 2008, 18:57

3 modo (questo funziona quasi sempre in situazioni del genere):
$ $x=\frac{y^2}{y-1}=\frac{y^2-1+1}{y-1}=y+1+\frac{1}{y-1} $
quindi $ $y-1|1 $ da cui la soluzione (y-1=-1 ci dà un assurdo).
Il punto è arrivare a un intero determinato fratto una funzione di una variabile, in modo da imporre la funzione come divisore del numeratore. Magari non qua, ma in altri casi ci si risparmia parecchi conti.

edit: azz, 300 messaggi in due secondi... preceduto ben 3 volte!
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
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Messaggio da g(n) » 24 nov 2008, 19:12

Solo una nota alla dimostrazione di Haile:
a guardarla di sfuggita dovrebbe essere giusta, ma per fare più in fretta, quando trovi che $ x^2-4x $ deve essere un quadrato, si può notare che $ x^2-4x+4=(x-2)^2 $ è sempre un quadrato, e quindi stiamo cercando due quadrati che distano 4, da cui si chiude velocemente.
Magari qui è più o meno la stessa cosa, ma è un'idea che può essere importante per risolvere altri problemi

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gian92
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Messaggio da gian92 » 24 nov 2008, 19:15

g(n) ha scritto:Solo una nota alla dimostrazione di Haile:
a guardarla di sfuggita dovrebbe essere giusta, ma per fare più in fretta, quando trovi che $ x^2-4x $ deve essere un quadrato, si può notare che $ x^2-4x+4=(x-2)^2 $ è sempre un quadrato, e quindi stiamo cercando due quadrati che distano 4, da cui si chiude velocemente.
Magari qui è più o meno la stessa cosa, ma è un'idea che può essere importante per risolvere altri problemi
io lo avevo fatto scomponendo $ x^2-4x=x(x-4) $
da qui la stessa conclusione :D

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