Troppi squares 2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Alex89
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Messaggio da Alex89 » 28 nov 2008, 08:54

L' equazione che avevo trovato io era più generica... tipo $ \displaystyle nx^2+n(n-1)x+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6} $ dove x è il primo della serie degli interi... per n=5 si vede che l'equazione è $ 5x^2+20x+30 $, e si vede che è divisibile per 5, ma $ x^2+4x+6 $ non lo è.

Invece per n=11 l'equazione è
$ 11x^2+110x+385 $ che è divisibile per 11... divido e ottengo $ x^2+10x+35 $, che da 11 per $ x=-6 $, quindi gli interi consecutivi (-6,-5,...,4) danno somma 121, che è un quadrato perfetto.

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Messaggio da SkZ » 28 nov 2008, 15:35

a volte e' meglio cercare formule piu' semplici anche se non completamente generiche
appunto, prendendo come numero di riferimento quello centrale per n=11 ottieni
$ ~11(x^2+10) $
che porta a $ ~x^2\equiv 1 \mod{11} $, ovvero $ ~x\equiv \pm1 \mod{11} $ per il valore centrale, $ ~x\equiv (6\pm1) \mod{11} $ per quello iniziale :wink:

(che e' poi il tuo caso se raccogli $ ~(x+5) $)
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Messaggio da SkZ » 29 nov 2008, 22:43

a sto punto finiamo, che mi sono scocciato di aspettare. sappiamo che la somma dei quadrati e'
SkZ ha scritto: n dispari
$ $nx^2+\frac{(n-1)n(n+1)}{12} $

n pari
$ $nx^2\pm nx+\frac{n(n^2+2)}{12} $
affinche' siano divisibili per $ ~n^2 $, serve che
n dispari $ $x^2+\frac{(n^2-1)}{12} $

n pari $ $x^2\pm x+\frac{(n^2+2)}{12} $
siano interi e divisibili per n

ergo
n dispari $ $(n^2-1)\equiv 0 \mod{12} $, verificato se $ ~n\neq3k $

n pari $ $(n^2+2)\equiv 0 \mod{12} $, mai verificato
ci rimane allora solo il caso n dispari.

dopo un paio di conti e posto $ ~12\equiv a \mod{n} $
abbiamo che la somma dei quadrati di n numeri consecutivi e' divisibile per$ ~n^2 $ se n e' della forma $ ~6k\pm1 $ (dispari e multiplo di 3) e dato x il numero di mezzo
$ ~ax^2\equiv 1 \mod{n} $
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Messaggio da jordan » 29 nov 2008, 22:54

SkZ ha scritto:a sto punto finiamo, che mi sono scocciato di aspettare.

:lol: :lol: :lol: :lol: :lol:
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