Troppi squares 2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Troppi squares 2

Messaggio da jordan » 16 nov 2008, 18:42

Considerate la seguente affermazione: "Esistono $ n $ interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia anch'esso un quadrato".
Stabilire se sia vera o falsa se:
i) n=3
ii) n=4
iii) n=5
iv) n=6
v) n=11

:o
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Anér
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Messaggio da Anér » 16 nov 2008, 19:11

per n=3 si vede subito mod3 che la somma è congrua a 2

per n=4 idem, ma mod4 e con somma congrua a 3

per n=5 la somma è divisibile per 5 ma mai per 25 (i residui quadratici di 25 sono 1, 4, 9, 16, 0, 11, 24, 14, 31, 0, 21, 19, 19, 21, 0, 31, 14, 24, 11, 0, 16, 9, 4, 1 e 0 , e si vede che 5 numeri consecutivi non sono divisibili per 25)

per n=6 sempre mod4 si ha la somma congrua a 3

per n=11 , per induzione (o per statistica, o meglio, perché è troppo faticoso calcolare i residui quadratici mod121) non è possibile!
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Messaggio da jordan » 16 nov 2008, 20:17

Mmm ok, ma non ti sembra un po stano che sono tutti falsi? :D
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Messaggio da Anér » 16 nov 2008, 21:12

No, affatto!
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Messaggio da jordan » 16 nov 2008, 21:19

Anér ha scritto:No, affatto!
:evil:

Allora cerca una dimostrazione decente per n=5 :lol:
e vediamo esplicitamente n=11 :P
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 16 nov 2008, 21:49

con 5 basta fare i conti in modo opportuno :wink:
meglio ancora se si generalizza per n=2m+1
si vede benissimo che non e' possibile
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da jordan » 16 nov 2008, 22:01

SkZ ha scritto:meglio ancora se si generalizza per n=2m+1
si vede benissimo che non e' possibile
Are you sure? :D
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Messaggio da SkZ » 16 nov 2008, 22:55

no infatti errore mio nel guardare :D
dimenticato un termine nella somma della formula generica.
Succede ;)
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Messaggio da exodd » 17 nov 2008, 19:36

SkZ ha scritto:con 5 basta fare i conti in modo opportuno
ponendo n, n+1, n+2, n+3, n+4 ed elevando tutto al quadrato e sommando viene
$ 5n^2+20n+30 $
$ 5(n^2+4n+6) $
per essere un quadrato $ (n^2+4n+6) $ deve essere multiplo di 5
passando tutto mod5 viene $ n^2-n+1 $
quindi sostituendo le varie classi di resto non viene mai...
0-> 0-0+1
1-> 1-1+1
2-> -1-2+1
-2-> -1+2+1
-1-> 1+1+1
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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Messaggio da SkZ » 17 nov 2008, 21:15

in verita' e' meglio $ ~n $, $ ~n\pm1 $, $ ~n\pm2 $ ;)
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Messaggio da SkZ » 21 nov 2008, 18:24

riallacciandomi al post prima
dato $ ~n=2m+1 $ e considerato i numeri $ ~x, x\pm1, ..., x\pm m $, la somma dei quadrati e' pari a
$ $nx^2+2\sum_{k=1}^mk^2 $
dato che i doppi prodotti si eliminano tra loro.

per $ ~n=5 $ ottieni $ ~5x^2+10=5(x^2+2) $
se $ ~x^2+2 $ e' multiplo di 5 allora modulo 10 e' congruo a 10 o a 5, ergo $ ~x^2 $ modulo 10 e' congruo a 8 o 3. Impossibile



@jordan la sommatoria viene $ ~\propto n(n-1)(n+1) $, che non e' divisibile per $ ~n^2 $. dimenticandomi dell'altro termine me ne ero uscito con quella affermazione. ;)
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 00:58

SkZ ha scritto:@jordan la sommatoria viene $ ~\propto n(n-1)(n+1) $, che non e' divisibile per $ ~n^2 $. dimenticandomi dell'altro termine me ne ero uscito con quella affermazione. ;)
si l'avevo capito, senza che lo scrivevi :D comunque mi dici come si legge/scrive/altre info si quel simbolo "proporzionale"?la prima volta lho vista a princeton scritta alla lavagna da micthan88 e mè piaciuto per il significato pratico..

[edit: visto che manco skz risponde piu, aggiungo che per n=11 un caso esiste.. :roll: ]
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Messaggio da SkZ » 28 nov 2008, 02:19

tecnicamente non posso rispondere: mi sono gia' preso la romanzina da sam una volta :oops:
vedro' nel week-end
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Messaggio da jordan » 28 nov 2008, 02:33

Infatti ti stavo chiedendo quel simbolo, non di rispondere al quesito :lol:
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Messaggio da SkZ » 28 nov 2008, 02:48

:oops: :oops: mi ero dimenticato

\propto ovvero "proporzionale a"
altro non saprei che dire

intanto scriviamo tutto, non so se puo' servire
per n dispari allora
$ $nx^2+\frac{(n-1)n(n+1)}{12} $

facilmente da questo si ottiene il caso n pari
$ $nx^2\pm nx+\frac{n(n^2+2)}{12} $
il $ ~\pm $ e' dovuto al fatto che non c'e' un centro. il caso pari e' un dispari a cui si e' tolto uno degli estremi
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