Corollario al postulato di Bertrand

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mondo
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Corollario al postulato di Bertrand

Messaggio da Mondo » 03 nov 2008, 13:15

Postulato di Bertrand: Per ogni $ n>1 $ esiste un primo p tale che $ n\le p < 2n $

Dato per buono il postulato (per chi volesse c'è una dimostrazione abbastanza comprensibile sulla wikipedia italiana) si dimostri che detta $ p_n $ la successione crescente dei primi, $ p_{n+1} < 2p_{n} $
Ultima modifica di Mondo il 03 nov 2008, 19:36, modificato 1 volta in totale.
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 03 nov 2008, 14:14

Una domanda: che c'entra Bertrand in tutto questo?

La successione è crescente, $ n>1 $ segue $ n+1<2n $..

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salva90
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Messaggio da salva90 » 03 nov 2008, 14:19

credo che intendesse $ $p_{n+1}<2p_n $
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

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Messaggio da EUCLA » 03 nov 2008, 14:25

Ah ok, adesso torna :D

geda
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Messaggio da geda » 03 nov 2008, 17:28

Se $ \forall n>1 $, $ \exists p $ primo tale che $ n< p < 2n $, allora pongo $ n=p_{n} $. Cosi', dato il postulato, avro' almeno un'altro primo (che e' per definizione proprio il successivo a $ p_{n} $, cioe' $ p_{n+1} $) tale che

$ p_{n}< p_{n+1}<2p_n $. Quindi la tesi.

PS. Nel postulato di Bertrand non c'e' il segno $ \leq $ in "...$ n\leq p < 2n $...". Cfr. Wikipedia in inglese.

Mondo
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Messaggio da Mondo » 03 nov 2008, 19:35

Ok, adesso la dimostrazione è banalissima. Con il minore uguale nell'ipotesi di Bertrand immagino che non si vada da nessuna parte...
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salva90
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Messaggio da salva90 » 03 nov 2008, 19:58

Mondo ha scritto:Con il minore uguale nell'ipotesi di Bertrand immagino che non si vada da nessuna parte...
In realtà è ovvio che se vale il minore o uguale vale il minore stretto:
per n>1 2n non può essere primo
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

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Messaggio da Mondo » 03 nov 2008, 20:46

no, dico il $ n< $ anzichè $ n\le $
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