Quando è che l'MCD è indipendente dal parametro?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mondo
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Quando è che l'MCD è indipendente dal parametro?

Messaggio da Mondo » 02 nov 2008, 23:41

Trovare TUTTE le coppie $ (a,b) \in Z^2 $ tali che per ogni $ n \in Z $ $ (5n+3, an+b) $ non dipenda da n.
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)

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jordan
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Messaggio da jordan » 12 gen 2009, 01:25

Domattina ho l'esame di statistica e sto all'una e mezza di notte a litigare con i gcd :lol:

Fatto 1- Innanzitutto se $ p \neq 5 $ allora esisterà sempre una e una sola classe di $ n $ tale che $ p|5n+3 $ infatti $ \mathbb{Z}_p* $ è un gruppo rispetto alla moltiplicazione ed esiste sempre l'inverso di un elemento (non nullo).
Fatto 2- Inoltre se $ (an+b,5n+3) $ non dipende da $ n $ allora esso sarà costante per ogni $ n \in \mathbb{Z} $, per cui $ (b,3)=(a+b,8)=1 \implies 3 \nmid b $.
Adesso esisteranno degli interi $ (k,r) $ tali che $ r \in \{-1,0,1,2,3\} $ e $ a=5k+r $, e risulta $ (an+b,5n+3)=(rn+(b-3k),5n+3) $
Se $ r=0 $ allora $ (an+b,5n+3)=(b-3k,5n+3) \neq 3 $ e inoltre $ 5 \nmid 5n+3, \forall n \in \mathbb{Z} $. Per cui condizione necessaria e sufficiente per il vincolo della tesi è che $ |b-3k|=5^{|\alpha|} $, per qualche $ \alpha \in \mathbb{Z} $. Per cui se $ 5|a $ tutte e sole le coppie $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 $ che soddisfano il vincolo sono parametrizzate da $ (5k,3k \pm 5^{|\alpha |}) $.
Se $ r=1 $ allora $ (an+b,5n+3)=(n+(b-3k),5n+3)=(n+(b-3k),3(5k+1)-5b) $. Si, è solo l'algoritmo euclideo.. per cui deve essere soddisfatta l'equazione $ |3(5k+1)-5b|=1 $ che è impossibile modulo 5. Analogamente si svolgono gli altri casi, se $ r=2 $ allora la condizione di vincolo sarà $ |5b-15k-6|=1 $, con $ r=3 $ invece $ |15k-5b+9|=1 $, e infine $ r=-1 $ si ha $ |3+5b-15k|=1 $, quest'ultima ancora impossibile modulo 5.
Per cui possiamo concludere che tutte le coppie $ (a,b) $ cercate sono date da $ (5k,3k \pm 5^{|\alpha |}), (5k+2,3k+1), (5k+3,3k+2) $ per ogni $ (k,\alpha) \in \mathbb{Z}^2 $. Inoltre si verifica facilmente che sono effettivamente soluzione al problema . :D
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