fake cesenatico

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
String
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Messaggio da String » 02 nov 2008, 14:50

Io ho provato a risolverlo in questo modo:
y è ovviamente pari e $ \equiv 2\pmod 3\Rightarrow n $ è dispari. Se n=1 allora ci sono infinite soluzioni del tipo $ y^n=3^k-1 $. Se n è diverso da 1, allora il secondo membro è $ \equiv 1\pmod 4 $ perciò affinchè lo sia anche il primo membro, k deve essere pari. Poichè
$ y^n+1=(y+1)(y^{n-1}-y^{n-2}+\cdots +y^2-y+1) $ e $ y\equiv 2\pmod 3 $ affinchè il secondo fattore sia multplo di 3, n deve essere della forma $ 3+6h $. Quindi n può essere espresso nella forma di un cubo, ad esempio: $ y^3, y^9=(y^3)^3, y^{15}=(y^5)^3 $, eccetera. Possiamo perciò riscrivere il secondo membro come
$ y^n+1=(y^a)^3+1=(y^a+1)(y^{2a}-y^a+1) $
Entrambi i fattori devono essere potenze di 3. Supponiamo che entrambi siano divisibili per 9. Ciò significa che $ y^a\equiv -1\pmod 9 $, ma se andiamo a sostituire nel secondo fattore si ha che questo è $ \equiv 3\pmod 9 $ e quindi quest'ultimo può essere solo 3, il che si ha con $ y=2,n=3 $ e quindi con $ k=2 $
Può andar bene?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 02 nov 2008, 17:48

String ha scritto:Io ho provato a risolverlo in questo modo:
y è ovviamente pari e $ \equiv 2\pmod 3\Rightarrow n $ è dispari. Se n=1 allora ci sono infinite soluzioni del tipo $ y^n=3^k-1 $. Se n è diverso da 1, allora il secondo membro è $ \equiv 1\pmod 4 $ perciò affinchè lo sia anche il primo membro, k deve essere pari. Poichè
$ y^n+1=(y+1)(y^{n-1}-y^{n-2}+\cdots +y^2-y+1) $ e $ y\equiv 2\pmod 3 $ affinchè il secondo fattore sia multplo di 3, n deve essere della forma $ 3+6h $. Quindi n può essere espresso nella forma di un cubo, ad esempio: $ y^3, y^9=(y^3)^3, y^{15}=(y^5)^3 $, eccetera. Possiamo perciò riscrivere il secondo membro come
$ y^n+1=(y^a)^3+1=(y^a+1)(y^{2a}-y^a+1) $
Entrambi i fattori devono essere potenze di 3. Supponiamo che entrambi siano divisibili per 9. Ciò significa che $ y^a\equiv -1\pmod 9 $, ma se andiamo a sostituire nel secondo fattore si ha che questo è $ \equiv 3\pmod 9 $ e quindi quest'ultimo può essere solo 3, il che si ha con $ y=2,n=3 $ e quindi con $ k=2 $
Può andar bene?

è esattamente quello che ho fatto io. Credo sia giusto
marco

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