fake cesenatico

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
bestiedda
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fake cesenatico

Messaggio da bestiedda » 28 ott 2008, 21:54

trovare tutte le terne $ $(k,y,n)\in \mathbb N $ che verificano l'equazione $ $3^k=y^n+1 $.


Piuttosto facile, astenersi esperti
marco

pak-man
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Messaggio da pak-man » 29 ott 2008, 17:32

Allora, proviamo:
$ y^n=3^k-1 $

Se $ k=0 $ allora $ y=0 $ e $ n\neq0 $.

Se $ k=1 $ allora $ y=2 $ e $ n=1 $

Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è $ k=2, y=2, n=3 $.

Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché $ k-1 $ è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.

Quindi le soluzioni sono (con $ n\neq0 $):
$ (k,y,n)=\{(0,0,n);(1,2,1);(2,2,3)\} $

Giusto?

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 29 ott 2008, 18:12

Y non dev'essere dispari per forza
pak-man ha scritto: Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è $ k=2, y=2, n=3 $.
puoi chiarire meglio questo passaggio?
Ultima modifica di bestiedda il 29 ott 2008, 18:32, modificato 1 volta in totale.
marco

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 ott 2008, 18:57

Se non ho le traveggole se poni n=1 hai che $ y=3^k-1 $, e quindi ci sono anche le soluzioni $ (k,3^k-1,1) $

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 ott 2008, 19:01

bestiedda ha scritto:Y non dev'essere dispari per forza
Di più: y è pari per la congruenza modulo 2 dall'equazione di partenza.

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 29 ott 2008, 19:13

OT
antosecret ha scritto:
bestiedda ha scritto:Y non dev'essere dispari per forza
Di più: y è pari per la congruenza modulo 2 dall'equazione di partenza.
+

:D ma allora non sono inutile

/OT
Appassionatamente BTA 197!

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 ott 2008, 19:24

:lol:

pak-man
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Messaggio da pak-man » 29 ott 2008, 19:25

antosecret ha scritto:Se non ho le traveggole se poni n=1 hai che $ y=3^k-1 $, e quindi ci sono anche le soluzioni $ (k,3^k-1,1) $
già, direi che hai ragione. Vediamo chi è il prossimo a trovare qualche mancanza nella mia soluzione!:P

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 29 ott 2008, 20:34

A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è
pakman ha scritto:Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.
da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene... :roll: :wink:

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 ott 2008, 20:45

Davide90 ha scritto:A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è
pakman ha scritto:Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.
da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene... :roll: :wink:
In questo modo però trovi le soluzioni nella forma $ (k,3^k-1,1) $ solo per k dispari. Da dove escono quelle per k pari??

In oltre anche io non ho molto chiaro il passaggio di cui parlava bestiedda:
bestiedda ha scritto:
pak-man ha scritto: Se k è pari
y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1)
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è k=2, y=2, n=3.
puoi chiarire meglio questo passaggio?
In effetti, anche se k è pari ponendo n= 1 si può fare lo stesso ragionamento di prima.

pak-man
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Messaggio da pak-man » 29 ott 2008, 22:02

Davide90 ha scritto:A me sembra che vada bene, l'unica cosa da correggere è
pakman ha scritto:Se k è dispari
$ y^n=2(3^{k-1}+3^{k-2}+\ldots+3+1) $
Poiché k-1 è pari, tra parentesi c'è un numero dispari di addendi. Questi sono tutti dispari, quindi anche la loro somma è dispari.
Ma allora $ y^n=2\cdot\mbox{dispari} $, e non ci sono soluzioni.
da questo passaggio deduci che $ y^n $ contiene il fattore 2 alla potenza 1, dunque $ n=1 $ da cui si ha la soluzione $ (k,3^k-1,1) $ come diceva antosecret.
Spero di non sbagliarmi, ma direi che così vada bene... :roll: :wink:
Da questo passaggio deduci che y è una potenza di 2 (perché c'è un fattore 2), e quindi se la roba dispari è maggiore di 1 non ci sono soluzioni, se è =1 allora si è nel caso k=1, y=2, n=1 (che può essere incluso nel caso $ (k, 3^k-1,1) $)
antoscret ha scritto:
bestiedda ha scritto:
pak-man ha scritto: Se k è pari
$ y^n=(3^{k/2}+1)(3^{k/2}-1) $
I due fattori sono due numeri che hanno differenza 2, l'unico caso possibile, l'unico caso possibile è k=2, y=2, n=3.
puoi chiarire meglio questo passaggio?
In effetti, anche se k è pari ponendo n= 1 si può fare lo stesso ragionamento di prima.
Possiamo scrivere l'equazione come sistema:
$ \left\{\begin{array}{lll}y^a=3^{k/2}+1\\y^b=3^{k/2}-1\\a+b=n\end{array}\right. $
Sottraendo membro a membro le prime due equazioni si ottiene
$ y^a-y^b=2 $
cioè $ y^a $ e $ y^b $ sono due potenze dello stesso numero che hanno differenza 2. Poiché y è pari, l'unico caso possibile è con $ y^a=4 $ e $ y^b=2 $, che porta alla soluzione $ (2,2,3) $

antosecret
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Messaggio da antosecret » 29 ott 2008, 23:17

pak-man ha scritto: Possiamo scrivere l'equazione come sistema:
$ \left\{\begin{array}{lll}y^a=3^{k/2}+1\\y^b=3^{k/2}-1\\a+b=n\end{array}\right. $
Sottraendo membro a membro le prime due equazioni si ottiene
$ y^a-y^b=2 $
cioè $ y^a $ e $ y^b $ sono due potenze dello stesso numero che hanno differenza 2. Poiché y è pari, l'unico caso possibile è con $ y^a=4 $ e $ y^b=2 $, che porta alla soluzione $ (2,2,3) $
Scusa se ancora non sono convinto: spero di non dire sciocchezze ma così non stai implicitamente supponendo che y sia primo?

Secondo me dovrebbe essere:
$ \left\{\begin{array}{lll}p=3^{k/2}+1\\q=3^{k/2}-1\\ p \cdot q=y^n\end{array}\right. $

pak-man
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Messaggio da pak-man » 29 ott 2008, 23:33

mi sa che hai ragione! Devo riguardare... :roll:

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 30 ott 2008, 02:16

e forse hai supposto anche che $ $a+b>1 $
ricordiamo che, se $ $k=2j $, $ $3^k-1=1(3^m-1)(3^m+1) $
ergo posso anche avere $ $y^a=1 $, che porta al caso n=1
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bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 31 ott 2008, 14:56

antosecret ha scritto: Scusa se ancora non sono convinto: spero di non dire sciocchezze ma così non stai implicitamente supponendo che y sia primo?

Secondo me dovrebbe essere:
$ \left\{\begin{array}{lll}p=3^{k/2}+1\\q=3^{k/2}-1\\ p \cdot q=y^n\end{array}\right. $
eh già...

UUUUUP!!!!
marco

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