si ha un polinomio $ p(x) $ di grado $ p-1 $ con $ p $ primo maggiore di 3
sapendo che le radici sono $ 1,2,3,...,p-1 $ dimostrare che il coefficiente del termine $ x $ cambiato di segno è divisibile per $ p^2 $
polinomio intero
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exodd
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polinomio intero
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Sono riuscito a dimostrare solo che è divisibile per p... 
Poichè p è maggiore 3, p è dispari dunque il coefficiente della x ha segno negativo. Cambiamogli segno e indichiamolo k:
$ $ k= - \left( -\frac {(p-1)!}{1} -\frac {(p-1)!}{2} -\frac {(p-1)!}{3} - ... -\frac {(p-1)!}{p-1} \right) = (p-1)! \sum_{n=1}^ {p-1} {\frac {1}{n} $
Ora, poichè $ $ \frac {1}{n} \equiv n^{p-2} \pmod p $ (moltiplicando per n membro a membro si ottiene il piccolo teorema di Fermat), ottengo $ $ k= (p-1)! \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} $.
Ora, $ $ \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} \equiv 0 \pmod p $ , in quanto è la somma di un sistema completo di residui elevato ad esponente p-2. Dunque k è divisibile per p.
Spero di non avere scritto cavolate...
Poichè p è maggiore 3, p è dispari dunque il coefficiente della x ha segno negativo. Cambiamogli segno e indichiamolo k:
$ $ k= - \left( -\frac {(p-1)!}{1} -\frac {(p-1)!}{2} -\frac {(p-1)!}{3} - ... -\frac {(p-1)!}{p-1} \right) = (p-1)! \sum_{n=1}^ {p-1} {\frac {1}{n} $
Ora, poichè $ $ \frac {1}{n} \equiv n^{p-2} \pmod p $ (moltiplicando per n membro a membro si ottiene il piccolo teorema di Fermat), ottengo $ $ k= (p-1)! \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} $.
Ora, $ $ \sum_{n=1}^{p-1} {n^{p-2}} \equiv 0 \pmod p $ , in quanto è la somma di un sistema completo di residui elevato ad esponente p-2. Dunque k è divisibile per p.
Spero di non avere scritto cavolate...
la dimostrazione la potresti gia concludere dicendo che:$ \displaystyle p^2 | \sum_{k=1}^{p-1}{\frac{1}{k}} $ per il teorema di wolstenholme ( cmq ti consiglio di cercare di dimostrare il teorema xke la sua dimostrazione puo essere istruttiva)
x exodd: nn capisco xke hai richiesto quel segno cambiato nella traccia del problema (la divisibilita e invariante per cambiamenti di segno)
x exodd: nn capisco xke hai richiesto quel segno cambiato nella traccia del problema (la divisibilita e invariante per cambiamenti di segno)
MIND TORNA CON NOI
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exodd
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diciamo che ho formulato un problema equivalente ad uno che ho trovato su un libro olimpionico, e, per coerenza ho riportato anche il segno....Jacobi ha scritto: x exodd: nn capisco xke hai richiesto quel segno cambiato nella traccia del problema (la divisibilita e invariante per cambiamenti di segno)
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