2^n=7x^2+y^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
String
Messaggi: 225
Iscritto il: 01 giu 2008, 17:21

2^n=7x^2+y^2

Messaggio da String » 01 ott 2008, 20:47

Siano $ x $,$ y $ degli interi dispari. Dimostrare che se n $ \geq 3 $ allora $ 2^n $ è esprimibile nella forma $ 2^n=7x^2+y^2 $.

E' preso dall'engel, ovviamente non sono in grado in farlo anche se ci sto provando da un bel pò. Sono andato anche a vedere la soluzione ma non ci ho capito molto... Voi come lo risolvereste? (Magari spiegandolo in modo semplice :) )
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 01 ott 2008, 21:08

Per quanto difficile senza soluzione, questo problema è diventato un must, e a mio parere è scritto anche bene la soluzione sull'engel..

Non voglio insistere ma è stato anche postato recentemente il problema sull'oliforum..ad ogni modo, per non rendere inutile il messaggio, puoi spiegarci dove non ti è chiaro?magari anche "quotando" i pezzi oscuri.. :wink:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

String
Messaggi: 225
Iscritto il: 01 giu 2008, 17:21

Messaggio da String » 01 ott 2008, 23:01

beh, non è che non capisco ciò che dice, è che non capisco come arriva a pensare alla media aritmetica...forse ci si arriva per tentativi e con un pò di fortuna...boh...ditemi voi...nel caso fosse cosi non ci sarebbe una soluzione alternativa?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 02 ott 2008, 01:34

se è per questo anche sull'engel ricordo che dava una specie di tabella con piccoli valori di n, poi facevi le tue ipotesi su cosa poteva essere e concludevi dmostrando per induzione..be, credo che come molti altri esercizi il difficile sia solo vederlo la prima volta, poi dovrebbe venire quasi automatico in altri dello stesso genere.. ps di soluzioni alternative non mi vengono in mente per adesso anche perche da quella tabella puoi intuire che non ci sono molte possibilità.. :?
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Alex89
Messaggi: 366
Iscritto il: 29 gen 2006, 16:57

Messaggio da Alex89 » 02 ott 2008, 09:40

Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
... and so on...
Ultima modifica di Alex89 il 02 ott 2008, 11:43, modificato 1 volta in totale.

Stradh
Messaggi: 23
Iscritto il: 08 set 2008, 12:09

Messaggio da Stradh » 02 ott 2008, 11:15

Alex89 ha scritto:Soluzione per sostituzione...

Se io pongo $ x=y=2^k $...
Ma $ x,y $ sono dispari...
...viene $ 2^n=2^{2k+3} $ e così ho rappresentato tutte le potenze dispari. Ricordando che 7+9=16 arrivo a sostituire $ y=3x=2^k $
... in ogni caso se $ y=3x=2^k $ per quale valore di $ k $, $ x $ è intero?

Alex89
Messaggi: 366
Iscritto il: 29 gen 2006, 16:57

Messaggio da Alex89 » 02 ott 2008, 11:43

Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare

Ok, per quanto riguarda la soluzione, era $ x=2^k $ e $ y=3x $...

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 02 ott 2008, 15:16

String ha scritto:non ci sarebbe una soluzione alternativa?
Il motivo vero per cui la tesi è vera:

Sia j una radice del polinomio $ x^2-x+2 $

$ \mathbb{Z}[j] $ è un anello a fattorizzazione unica a meno di unità (riesci senza troppa difficoltà a definire una divisione con resto sensata, il resto segue). Il coniugato di $ a+bj $ è $ a+b-bj $

Chiaramente $ j^{n-2}(1-j)^{n-2}=2^{n-2} $

Poniamo $ j^{n-2}=a+bj $

Questo ci fornisce a e b tali che $ a^2+ba+2b^2=2^{n-2} $

Siccome $ (1-j,j)=1 $ abbiamo che $ 1-j\nmid a+bj $ ovvero che a+b è dispari, questo (unito alla disuguaglianza di sopra per $ n-2\ge 1 $) implica che b è dispari (si vede facilmente per assurdo). Ponendo y=2a+b e x=b abbiamo che $ 7x^2+y^2=4(a^2+ba+2b^2)=2^n $ come richiesto.

Chiaramente in gara non la scriverai così la soluzione (sembra poco olimpico) e espliciterai gli a e b tramite una ricorrenza.

Spero di essere stato chiaro e non troppo stringato.

Ciao!

EDIT: nel caso ti mancasse la teoria sulle estensioni di campo, dovrebbe esserci qualche video di qualche senior da qualche parte che puoi vederti...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
elianto84
Messaggi: 266
Iscritto il: 20 mag 2005, 18:35
Località: Pisa
Contatta:

Messaggio da elianto84 » 31 mar 2009, 18:01

Alternativamente:

Lemma1) Il prodotto di due numeri della forma x²+7y² é della medesima forma:
<tex>(x^2+7y^2)(z^2+7w^2) = (xz+7yw)^2 + (xw-yz)^2 </tex>
Basta scrivere (norma del prodotto)=(prodotto delle norme) in <tex>\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]</tex>
Lemma2) 2³ e 2⁴ sono della forma x²+7y² per (x,y)=(1,1),(1,3)
Lemma3) Se n é della forma x²+7y², lo é anche 4n.
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

Rispondi