dato che siamo in vena di progressioni aritmetiche....

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bestiedda
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dato che siamo in vena di progressioni aritmetiche....

Messaggio da bestiedda » 23 set 2008, 13:57

Si dimostri che in ogni progressione aritmetica infinita di unmeri naturali esistono infiniti termini nella cui fattorizzazione compaiono gli stessi fattori primi (ovviamente con esponenti diversi)
marco

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 set 2008, 17:59

Stavolta mi sentirei quasi in dovere di rispondere, se non fosse che è parecchio piu facile (=standard) del mio e non voglio bruciartelo ..
tanti saluti bestiedda!
:wink:
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bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 23 set 2008, 18:29

è preso da un Cortona, quindi in teoria come difficoltà dovrebbe essere $ $\geq $ al livello di Cesenatico, ma in pratica è abbastanza semplice, è vero :wink:
marco

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julio14
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Messaggio da julio14 » 23 set 2008, 22:37

Carino! se non altro se fosse a cesenatico sarebbe veloce da scrivere

data la progressione di ragione q kq+a, tutti i numeri della forma a(q+1)^n sono congrui ad a modulo q quindi appartengono alla progressione e ovviamente rispettano la tesi

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jordan
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Messaggio da jordan » 23 set 2008, 22:58

xke la metti in piccolo?tanto qualcuno di passaggio se la risolve al tuo stesso modo non la posta, e se vuole risolverlo senza guardare la soluzione lo fa lo stesso..
julio14 ha scritto:data la progressione di ragione q kq+a, tutti i numeri della forma a(q+1)^n sono congrui ad a modulo q quindi appartengono alla progressione e ovviamente rispettano la tesi
complimenti molto piu bella della mia!

la mia idea era dato un intero positivo(be, uno ce ne deve stare :) ) $ a_0=\prod{p_i^{\alpha_i}} $ appartente alla progressione di ragione $ q=\prod{q_i^{\beta_i}} $ definiamo $ m=gcd(a_0,q) $. la tesi resta vera se dividiamo tutti i termini della progressione per $ m $, per cui possiamo assumere wlog $ gcd(a_0,q)=1 $. se esiste $ a_1=a_0+kq=\prod{p_i^{t_i}}, t_i \ge \alpha_i \forall i $ allora è vero che $ kq=a_0 (\prod{p_i^{t_i-\alpha_i}-1}) $ $ \implies k=Ka_0, K \in \mathbb{N} $ $ \implies \prod{p_i^{t_i-\alpha_i}}\equiv 1 \pmod q $, ma ricordiamo che i $ t_i $ li stabiliamo noi e direi che non è difficile trovarli tali che $ t_i \equiv \alpha_i \pmod{\phi(q)} $.

ps dubito che la darebbero a cesenatico.. :D
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bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 24 set 2008, 06:57

jordan non conosco la notazione da te utilizzata quindi non capisco la tua dimostrazione..

io ho fatto così:

poniamo $ $a_0 $ il primo termine della progressione, e $ $r $ la sua ragione. Allora i termini $ $(a_0+r)(1+r)^k $ con $ $k $ naturale fanno tutti parte della progressione in quanto $ $(a_0+r)(1+r)^k=(a_0+r)(1+r)^{k-1}+(a_0+r)(1+r)^{k-1}\cdot r $
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albert_K
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Messaggio da albert_K » 16 ott 2008, 06:39

Io, risolvendolo praticamente come ha fatto julio14 avevo semplicemente cercato di dimostrare che data una progressione aritmetica è possibile estrarre una (anzi, infinit) progressioni geometriche. E in una progressione geometrica tutti i termini a parte eventualmente il primo hanno gli stessi fattori primi.

Non so o non ricordo se è un fatto noto, risulta quindi che data una progressione aritmetica PA(a,b) di base a e ragione b e un termine x di PA(a,b) esiste una progressione geometrica PG(x,kb+1) con tutti i termini contenuti in PA(a,b).
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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