È sempre intero?

[Haile]

Credo non sia difficile, in ogni caso non riesco a venirne a capo:

Dimostrare che, dato $ $x \in \mathbb{R^+}$ $, se

$ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero, allora

$ $x^k + \frac{1}{x^k}$ $ è intero $ $\forall k \in \mathbb{N} $

[pic88]

E' un classico, e credo che l'induzione estesa vada più che bene: moltiplica quella cosa per x + 1/x...

[Haile]

E' un classico, e credo che l'induzione estesa vada più che bene: moltiplica quella cosa per x + 1/x...

In pratica se l'assunzione "è vero per (k-1) e per (k-2)" implica "è vero per k" è dimostrato per induzione estesa?

[String]

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?

[Haile]

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?

Sarebbe troppo facile...

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

[pak-man]

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio

[String]

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?

Sarebbe troppo facile...

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

Già, è vero, ma quindi il mio errore sta nell'aver considerato $ x\in \mathbb Q $? Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?

[ico1989]

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio

Ma $ $x$ $ non deve essere per forza intero, basta guardare le ipotesi, $ $\mathbb{R^{+}}$ $, è un reale positivo... o no?

[ico1989]

Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?

$ $x+ \frac{1}{x} = n$ $ e ricavi x.

[ico1989]

Non so se può essere utile notare che:

$ $x^k + \frac{1}{x^k} = \left( x + \frac{1}{x}\right)^k - \sum_{i=1}^{k-1} {k \choose i} \cdot x^{k-i} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^i =$ $

$ $= \left( x + \frac{1}{x}\right)^k - \sum_{i=1}^{k-1} {k \choose i} \cdot x^{k-2i}$ $

[Haile]

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio

No, arrivi ad una conclusione errata. C'è un motivo se ho scritto $ $x \in \mathbb{R^+}$ $. prendi la formula che ho scritto con n=3 e il caso con il "+":

$ $x=\frac{3+\sqrt 5}{2}$ $

ebbene

$ $\frac{3+\sqrt 5}{2} + \frac{1}{\frac{3+\sqrt5}{2}}$ $

è intero (per la precisione, fa esattamente 3).

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?

Sarebbe troppo facile...

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

Già, è vero, ma quindi il mio errore sta nell'aver considerato $ x\in \mathbb Q $? Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?

$ $x \in \mathbb{R^+}$ $
$ $n \in \mathbb{N}$ $

supponiamo $ $x + \frac{1}{x} = n$ $

$ $x^2+1=nx$ $

$ $x^2-nx+1=0$ $

Classica equazione quadratica, risolvo per x e ottengo

$ $x_{1,2}=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $

[jordan]

look here http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... highlight=

[Haile]

look here http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... highlight=

E quindi è intera per ogni k, grazie Jordan!

Provo la dimostrazione per induzione estesa, dovrebbe essere veramente banale.

$ $x+ \frac{1}{x}$ $ è intero.

$ $x^k + \frac{1}{x^k}$ $. Bene, per $ $k=1$ $ è ovviamente ancora intero.

Ora suppongo che

$ $x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $

$ $x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}}$ $

siano interi.

Se moltiplico la seconda per un intero, ottengo un intero. Allora questo sarà intero


$ $\bigg( x + \frac{1}{x} \bigg) \bigg( x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} \bigg)$ $

$ $x^{k} + \frac{1}{x^k} + x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $

$ $x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $ è stato posto intero, ne consegue $ $x^{k} + \frac{1}{x^k}$ $ intero.

Ovvero, $ $P(k-1),~P(k-2)$ $ interi implica $ $P(k)$ $ intero.

La tesi è quindi dimostrata per induzione estesa.

[Algebert]

Forse sbaglio, ma mi pare che questo problema si potesse risolvere anche con metodi algebrici (ad esempio, fattorizzando); ma forse per un $ $k$ $ generico è troppo difficile questo metodo. Va benissimo l'induzione estesa .

[ico1989]

Sorry, cosa dice esattamente l'induzione estesa?