È sempre intero?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Haile
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È sempre intero?

Messaggio da Haile » 17 set 2008, 17:46

Credo non sia difficile, in ogni caso non riesco a venirne a capo:

Dimostrare che, dato $ $x \in \mathbb{R^+}$ $, se

$ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero, allora

$ $x^k + \frac{1}{x^k}$ $ è intero $ $\forall k \in \mathbb{N} $
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pic88
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Messaggio da pic88 » 17 set 2008, 18:06

E' un classico, e credo che l'induzione estesa vada più che bene: moltiplica quella cosa per x + 1/x...

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Haile
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Messaggio da Haile » 17 set 2008, 18:23

pic88 ha scritto:E' un classico, e credo che l'induzione estesa vada più che bene: moltiplica quella cosa per x + 1/x...
In pratica se l'assunzione "è vero per (k-1) e per (k-2)" implica "è vero per k" è dimostrato per induzione estesa?
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String
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Messaggio da String » 17 set 2008, 18:41

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?
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Haile
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Messaggio da Haile » 17 set 2008, 18:47

String ha scritto:Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?
Sarebbe troppo facile...

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 17 set 2008, 18:53

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio

String
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Messaggio da String » 17 set 2008, 18:57

Haile ha scritto:
String ha scritto:Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
E' giusto?
Sarebbe troppo facile...

Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
Già, è vero, ma quindi il mio errore sta nell'aver considerato $ x\in \mathbb Q $? Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?
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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 17 set 2008, 19:01

pak-man ha scritto:
Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio
Ma $ $x$ $ non deve essere per forza intero, basta guardare le ipotesi, $ $\mathbb{R^{+}}$ $, è un reale positivo... o no?
Ultima modifica di ico1989 il 17 set 2008, 19:06, modificato 1 volta in totale.

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 17 set 2008, 19:02

String ha scritto:Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?
$ $x+ \frac{1}{x} = n$ $ e ricavi x.

ico1989
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Re: È sempre intero?

Messaggio da ico1989 » 17 set 2008, 19:05

Non so se può essere utile notare che:

$ $x^k + \frac{1}{x^k} = \left( x + \frac{1}{x}\right)^k - \sum_{i=1}^{k-1} {k \choose i} \cdot x^{k-i} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^i =$ $

$ $= \left( x + \frac{1}{x}\right)^k - \sum_{i=1}^{k-1} {k \choose i} \cdot x^{k-2i}$ $

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Haile
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Messaggio da Haile » 17 set 2008, 19:06

pak-man ha scritto:
Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma
$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
Il ragionamento è giusto, solo che se $ n\ge3 $ allora $ n^2-4 $ è compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi:
$ (n-1)^2<n^2-4<n^2 $
e dunque non può essere a sua volta un quadrato perfetto.
Se $ n=1 $ otteniamo un negativo sotto radice, mentre se invece $ n=2 $ allora $ x=1 $, che è l'unico caso possibile, il seguito è ovvio
No, arrivi ad una conclusione errata. C'è un motivo se ho scritto $ $x \in \mathbb{R^+}$ $. prendi la formula che ho scritto con n=3 e il caso con il "+":

$ $x=\frac{3+\sqrt 5}{2}$ $

ebbene

$ $\frac{3+\sqrt 5}{2} + \frac{1}{\frac{3+\sqrt5}{2}}$ $

è intero (per la precisione, fa esattamente 3).


String ha scritto:
Haile ha scritto:
String ha scritto:Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ $ \frac {a}{b} $ ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} $. Ma dato che (a,b)=1 allora anche $ (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 $ e viceversa, quindi $ $ a^2+b^2 $ non sarà mai divisibile per $ ab $. Ne segue che $ $ x+\frac {1}{x} $ è intero solo per x=1 e quindi per ogni potenza k.
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Si dimostra facilmente che $ $x + \frac{1}{x}$ $ è intero non solo per x=1, ma anche per ogni x di forma

$ $\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
Già, è vero, ma quindi il mio errore sta nell'aver considerato $ x\in \mathbb Q $? Mi faresti vedere come arrivi a quella formula?
$ $x \in \mathbb{R^+}$ $
$ $n \in \mathbb{N}$ $

supponiamo $ $x + \frac{1}{x} = n$ $

$ $x^2+1=nx$ $

$ $x^2-nx+1=0$ $

Classica equazione quadratica, risolvo per x e ottengo

$ $x_{1,2}=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}$ $
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jordan
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Messaggio da jordan » 17 set 2008, 19:43

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Messaggio da Haile » 17 set 2008, 19:57

E quindi è intera per ogni k, grazie Jordan!

Provo la dimostrazione per induzione estesa, dovrebbe essere veramente banale.

$ $x+ \frac{1}{x}$ $ è intero.

$ $x^k + \frac{1}{x^k}$ $. Bene, per $ $k=1$ $ è ovviamente ancora intero.

Ora suppongo che

$ $x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $

$ $x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}}$ $

siano interi.

Se moltiplico la seconda per un intero, ottengo un intero. Allora questo sarà intero


$ $\bigg( x + \frac{1}{x} \bigg) \bigg( x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} \bigg)$ $

$ $x^{k} + \frac{1}{x^k} + x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $

$ $x^{k-2} + \frac{1}{x^{k-2}}$ $ è stato posto intero, ne consegue $ $x^{k} + \frac{1}{x^k}$ $ intero.

Ovvero, $ $P(k-1),~P(k-2)$ $ interi implica $ $P(k)$ $ intero.

La tesi è quindi dimostrata per induzione estesa.
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Messaggio da Algebert » 18 set 2008, 07:40

Forse sbaglio, ma mi pare che questo problema si potesse risolvere anche con metodi algebrici (ad esempio, fattorizzando); ma forse per un $ $k$ $ generico è troppo difficile questo metodo. Va benissimo l'induzione estesa :wink: .
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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 18 set 2008, 09:42

Sorry, cosa dice esattamente l'induzione estesa?

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