febb 2006

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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bestiedda
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febb 2006

Messaggio da bestiedda » 14 set 2008, 08:52

Sia $ $k\geq1 $ un numero naturale. Determinare in funzione di $ $k $ il numero di interi positivi $ $n $ con le seguenti proprietà:

(a) in base 10 si scrivono con $ $k $ cifre, tutte dispari

(b) sono divisibili per 5, ed il quoziente$ $\frac{n}{5} $, espresso in base 10, ha ancora $ $k $ cifre, tutte dispari


questo l'ho trovato nettamente più difficile rispetto agli altri febbraio (benchè, una volta trovata l'idea principale, la risoluzione è proprio semplice)
marco

matteo16
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Re: febb 2006

Messaggio da matteo16 » 14 set 2008, 09:26

bestiedda ha scritto:Sia $ $k\geq1 $ un numero naturale. Determinare in funzione di $ $k $ il numero di interi positivi $ $n $ con le seguenti proprietà:

(a) in base 10 si scrivono con $ $k $ cifre, tutte dispari

(b) sono divisibili per 5, ed il quoziente$ $\frac{n}{5} $, espresso in base 10, ha ancora $ $k $ cifre, tutte dispari


questo l'ho trovato nettamente più difficile rispetto agli altri febbraio (benchè, una volta trovata l'idea principale, la risoluzione è proprio semplice)
non sono per niente sicuro di quello che scrivo.
io penso di averlo risolto con la combinatoria:

$ n $ deve essere composto da $ k $ cifre dispari, quindi $ 1,3,5,7,9 $.

deve essere divisibile per $ 5 $ e quindi la cifra delle unità genericamente sarebbe o $ 0 $ o $ 5 $ma rispettando la condizione della prima richiesta può essere solo $ 5 $.
affinchè, dividendolo per $ 5 $, il quoziente $ q $ abbia $ k $ cifre come n, bisogna ragionare sul prodotto $ q \cdot 5 $. l'ultima cifra di $ q $ deve essere per forza $ 1 $ visto che se se fosse già 3 $ n $ avrebbe $ k+1 $ cifre.
per la prima affermazione la cifra delle unità di $ q $ deve essere per forza $ 1 $.
restano $ k-2 $ cifre. ma queste possono essere scelte in qualsiasi modo rispettando il fatto che debbano essere dispari. i modi per scegliere tali numeri sono $ 5^{k-2} $.
univocamente si avrà che anche le restanti $ k-2 $ cifre di $ n $ si possono trovare in $ 5^{k-2} $ modi.
quindi i numeri di k cifre che devono soddisfare quelle condizioni sono $ 5^{k-2} $.

visto che la funzione che associa ai multipli di 5 i suoi quozienti nella divisione per $ 5 $ è biettiva e quindi invertibile, penso che sia lecito il mio ragionamento che parte da $ q $.

ditemi se è giusto.

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 14 set 2008, 10:06

è sbagliato


sei sicuro che le cifre di $ $q $ possano essere scelte fra tutte le cifre dispari?
marco

String
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Messaggio da String » 14 set 2008, 11:51

Un numero ha lo stesso numero di cifre del suo quoziente $ $ \frac {n}{5} $ se la prima cifra da sinistra è almeno 5, le altre possibilità sono quindi 7 e 9. La stessa cosa vale per tutte le altre cifre e cioè che devono valere almeno 5 (perchè altrimenti la cifra del quoziente sarebbe pari) oppure essere 7 o 9. Solo l'ultima cifra può essere scelta in un modo (5) essendo il numero divisibile per 5. In definitiva il numero richiesto dovrebbe essere $ 3^{k-1} $
Fatemi sapere se è giusto...
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 14 set 2008, 12:03

String ha scritto:Un numero ha lo stesso numero di cifre del suo quoziente $ $ \frac {n}{5} $ se la prima cifra da sinistra è almeno 5, le altre possibilità sono quindi 7 e 9. La stessa cosa vale per tutte le altre cifre e cioè che devono valere almeno 5 (perchè altrimenti la cifra del quoziente sarebbe pari) oppure essere 7 o 9. Solo l'ultima cifra può essere scelta in un modo (5) essendo il numero divisibile per 5. In definitiva il numero richiesto dovrebbe essere $ 3^{k-1} $
Fatemi sapere se è giusto...
ah certo non ci avevo pensato :)

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 14 set 2008, 14:37

Sì, direi proprio che vada bene... :wink:

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Cassa
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Messaggio da Cassa » 14 set 2008, 16:07

String ha scritto: [...] La stessa cosa vale per tutte le altre cifre e cioè che devono valere almeno 5 (perchè altrimenti la cifra del quoziente sarebbe pari) oppure essere 7 o 9 [...]
Come si dimostra?

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 14 set 2008, 17:58

Cassa ha scritto:
String ha scritto: [...] La stessa cosa vale per tutte le altre cifre e cioè che devono valere almeno 5 (perchè altrimenti la cifra del quoziente sarebbe pari) oppure essere 7 o 9 [...]
Come si dimostra?
io ho pensato che, facendo la divisione di $ $n $ per 5, quando dividiamo per la prima cifra otteniamo un resto che "portato giù" assieme alla cifra successiva deve formare un numero che, diviso per 5 abbia quoziente dispari. Ora, i numeri che divisi per 5 danno quoziente dispari devono per forza avere la cifra delle unità $ $\geq5 $ perchè se questa fosse minore il prodotto del quoziente per 5 dovrebbe essere pari, ovvero il quoziente dovrebbe essere pari.

é contorto lo so

EDIT: mi rendo conto che non si capisce niente

allora: quando dividiamo un numero per 5, per ottenere il quoziente dobbiamo cercare il multiplo del divisore minore del dividendo che più si avvicina al dividendo stesso. Se il divisore ha cifra delle unità minore di 5, è ovvio che il multiplo cercato è un multiplo di 10, per cui il quoziente risulterà pari. Nel nostro caso il quoziente deve essere sempre dispari, per cui la cifra delle unità deve essere maggiore o uguale a 5
marco

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Cassa
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Messaggio da Cassa » 14 set 2008, 19:05

:shock:
:oops: Non ho capito una sega :lol:


EDIT:

Alla carlona direi..
la prima cifra deve essere per forza o 5 o 7 o 9, quindi fratto 5 a resto 0,2,4.
Se la seconda cifra fosse 1 o 3 il quoziente sarebbe un numero pari [casi semplicissimi a mano, anche se generalizzare non mi sembra impossibile ma è sbatto :mrgreen: ] di conseguenza affinchè n/5 non abbia cifre pari le cifre di n devono essere tutte >= di 5.

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 14 set 2008, 20:01

Cassa ha scritto::shock:
:oops: Non ho capito una sega :lol:


EDIT:

Alla carlona direi..
la prima cifra deve essere per forza o 5 o 7 o 9, quindi fratto 5 a resto 0,2,4.
Se la seconda cifra fosse 1 o 3 il quoziente sarebbe un numero pari [casi semplicissimi a mano, anche se generalizzare non mi sembra impossibile ma è sbatto :mrgreen: ] di conseguenza affinchè n/5 non abbia cifre pari le cifre di n devono essere tutte >= di 5.
alla carlona direi che è esattamente quello che ho detto io :wink:
marco

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