somma di cubi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matteo16
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somma di cubi

Messaggio da matteo16 » 04 set 2008, 19:03

dimostrare che la somma dei cubi dei primi n numeri è un quadrato perfetto

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 04 set 2008, 20:17

Si dimostra facilmente per induzione che:

$ $1^3 + 2^3 + 3^3 +\dots+ n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$ $

Nient'altro che il quadrato della somma dei primi $ $n$ $ interi positivi :wink: !
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 05 set 2008, 09:12

Algebert ha scritto:Si dimostra facilmente per induzione che:

$ $1^3 + 2^3 + 3^3 +\dots+ n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$ $

Nient'altro che il quadrato della somma dei primi $ $n$ $ interi positivi :wink: !
ovviamente giusto :wink:

ser dark
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Messaggio da ser dark » 05 set 2008, 11:09

potreste mostrare i passaggi ?
"quando qualcuno ti chiede se sei un dio, tu gli devi dire si!" Bill Murray(Peter) in Ghostbusters

String
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Messaggio da String » 05 set 2008, 11:50

La proposizione è ovviamente vera per n=1. Ora dobbiamo vedere che se l'enunciato vale per un certo n, allora vale anche per n+1.
$ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2 $ allora $ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3+(n+1)^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2+(n+1)^3 $ da cui si ottiene alla fine che
$ $ \left[\frac {(n+1)(n+2)}{2} \right]^2 $
Ma questa espressione è uguale a quella di partenza in cui al posto di n c'è n+1.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

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