SNS 2008/2009 n°1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Alex89
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SNS 2008/2009 n°1

Messaggio da Alex89 » 30 ago 2008, 17:57

Siano $ \displaystyle p_1, p_2, p_3 $ interi relativi e $ \displaystyle q_1, q_2, q_3 $ interi positivi tali che

$ \displaystyle |p_1q_2-q_1p_2|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1 $

Dimostrare che, dopo un eventuale riordinamento delle coppie $ \displaystyle (p_1,q_1) , (p_2,q_2) , (p_3,q_3) $ si ha che $ \displaystyle p_3=p_1+p_2 $ e $ \displaystyle q_3=q_1+q_2 $.

Good work!

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 30 ago 2008, 21:23

La mia soluzione a dire il vero mi sembra un po' sporca... La scrivo ed eventualmente mi dite che ne pensate.

Poichè quei tre mostri in valore assoluto sono uguali ad 1, ce ne devono essere almeno due uguali tra loro. Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due. Allora si ha:

$ \displaystyle p_1q_2 - q_1p_2 = p_1 q_3 - p_3 q_1 $

Da cui

$ \displaystyle \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 - p_3}{q_2 - q_3} $

Si vede facilmente che la frazione al LHS è ridotta ai minimi termini, quindi $ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 30 ago 2008, 21:27

Pigkappa ha scritto:Per le simmetrie del problema (possiamo riordinare quanto ci pare) e per semplicità supponiamo che siano i primi due.
Il passaggio chiave stava in questo :) .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 30 ago 2008, 21:28

Quello è il passaggio più sporco... Anche se, in realtà, si poteva andare avanti portandosi dietro un ± e non sarebbe cambiato nulla.
Secondo me era più importante vedere che $ \displaystyle MCD(p_1,q_1) =1 $ e poi nello sbarazzarsi di $ \displaystyle h $...

Faust
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Messaggio da Faust » 14 set 2008, 20:29

io ho fatto con Cramer (faceva tanto figo 8) )...
Si nota che quei tre aggeggi posssono essere scritti come matrici (Dx, Dy, D)caratterizzanti di un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite (basta sottrarre le equazioni per ottenere le relazioni cercate).
Per tale sistema si ha x=+o-1 y=+o-1: per i tre diversi casi si ottengono 3 riordinamenti diversi di p1=p2+p3.

Senza Latex mi sa che nn si capisce niente :oops: ... l'idea era buona :idea: ?
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Algebert
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Messaggio da Algebert » 14 set 2008, 22:28

Sai che anch'io avevo pensato ad una cosa del genere? Poi ho lasciato perdere visto che dimestichezza con vettori e algebra lineare ne avevo (e ne ho tuttora) molto poca :oops: .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

Faust
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Messaggio da Faust » 16 set 2008, 00:52

Neanch'io naturalmente :lol: ... l'importante è fare finta! 8) :twisted:
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SARLANGA
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Messaggio da SARLANGA » 13 set 2009, 14:01

Pigkappa ha scritto:$ \displaystyle (p_2 - p_3) = h p_1 $ e $ \displaystyle (q_2 - q_3) = h q_1 $. Adesso sostituiamo questo in $ \displaystyle p_2 q_3 -p_3 q_2 = ± 1 $ e scopriamo che $ \displaystyle h = ± 1 $, che ci dà la tesi.
Potresti spiegarmi i passaggi che hai fatto qui? Come hai ricavato che $ \displaystyle h = ± 1 $?

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exodd
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Messaggio da exodd » 13 set 2009, 18:37

$ p_2q_3-p_3q_2=(p_3+hp_1)q_3-p_3(hq_1+q_3)=h(p_1q_3-p_3q_1) $
p.s. come si scrive più o meno?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

fede90
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Messaggio da fede90 » 13 set 2009, 19:16

exodd ha scritto:p.s. come si scrive più o meno?

Codice: Seleziona tutto

\pm
$ $\pm$ $
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

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