British Mathematical Olympiad 1996 n°1

[Gufus]

Problema molto carino risolvibile con matematica della terza media...il che non vuol dire che sia semplice!

Trova nel modo più efficiente possibile tutte le coppie $ $(m,n)$ $ di interi positivi che soddisfano le seguenti due condizioni:
a) Due tra le cifre di$ $m$ $ sono le stesse rispetto alle corrispondenti cifre di $ $n$ $, mentre le altre cifre di $ $m$ $ sono entrambe minori di 1 rispetto alle altre cifre di $ $n$ $;
b) Entrambi $ $m$ $ ed $ $n$ $ sono quadrati di quattro cifre.

Si cimentino pure quelli che si allenano a livello Febbraio.
Qui ci sono due hints domande-guida.
1_Sia n=abcd, cosa significa che m=ab(c-1)(d-1) in termini numerici, tanto per fare un esempio? .
2_Sia n=abcd, in quanti modi può presentarsi allora m?.

Buon divertimento!

[Anér]

Scriviamo $ m $ come $ a^2 $ e $ n $ come $ b^2 $. Allora $ m-n=(a+b)(a-b)=10^x+10^y $, con $ 0\leq x<y\leq 3 $.
Dunque $ (a+b)(a-b) $ può assumere i seguenti valori: 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100. Poiché $ a+b $ e $ a-b $ hanno la stessa parità, escludiamo 110 e 1010, perché sono pari ma non divisibili per 4, dunque si possono scrivere solo come prodotto di un pari per un dispari.
A questo punto non resta che fattorizzare gli altri numeri e fare le prove; ad esempio per 11 si ha:
$ (a+b)(a-b)=11 $
$ a+b=11 $; $ a-b=1 $ (se si scambiano somma e differenza o si mettono fattori negativi non si arriva a soluzioni diverse)
$ a=6 $; $ b=5 $
$ m=36 $; $ n=25 $
Le altre soluzioni sono (2601, 2500), (2025, 1024), (5625, 4624), (2501, 1600), (3600, 2500), (1296, 196).

[Gufus]

Perfetto! Unica macchiolina è l ultima soluzione, 196 non ha 4 cifre...poi le altre escono cosi' anche a me!
Ciao!