Un altro Febbraio

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Fedecart
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Un altro Febbraio

Messaggio da Fedecart » 21 lug 2008, 16:16

So che sembra sciocco a molti di voi, per la semplicità di questo problema, ma sono davvero felice di averlo risolto dato che di certo un mese e mezzo fa non ce l'arei mai mai mai fatta! Allora lo posto, è comunque un buon esercizio per gente del mio (basso) livello :wink:

Dire la cifra delle unità di

$ 2^{(2^1)}+2^{(2^2)}+2^{(2^3)}+...+2^{(2^{1999})} $
Ultima modifica di Fedecart il 22 lug 2008, 00:48, modificato 2 volte in totale.

String
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Messaggio da String » 21 lug 2008, 16:58

Provo a rispondere dato che il mio livello è molto basso. Per prima cosa noto che i termini successivi a $ 2^{2^2} =16 $ sono tutti sue potenze e quindi terminano tutti con 6. Quindi faccio $ 6\cdot 1998+ 4=11992 $ quindi la cifra dell'unità dovrebbe essere 2. Ditemi se è giusto
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

elendil
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Messaggio da elendil » 22 lug 2008, 00:05

Io direi che si può considerare il tutto come somma di potenze di 4 da 4^1 a 4^1999 che hanno come ultima cifra 4 o 6. Più precisamente quando l'esponente è dispari l'unità è 4 mentre quando è pari l'unità è 6. Sommando i 4 con i seguenti 6 si ottiene 0 ma l'ultimo esponente è dispari quindi penso che la cifra delle unità richiesta sia 6. Giusto?

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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 22 lug 2008, 00:31

elendil ha scritto:Io direi che si può considerare il tutto come somma di potenze di 4 da 4^1 a 4^1999 che hanno come ultima cifra 4 o 6. Più precisamente quando l'esponente è dispari l'unità è 4 mentre quando è pari l'unità è 6. Sommando i 4 con i seguenti 6 si ottiene 0 ma l'ultimo esponente è dispari quindi penso che la cifra delle unità richiesta sia 6. Giusto?
$ 2^{(2^1)}+2^{(2^2)}+...+2^{(2^{1999})} $ :wink:

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 22 lug 2008, 00:39

Si, scusatemi desmo ha ragione! Ora edito e metto le parentesi... Anche se credo si debba leggere allo stesso modo anche senza parentesi, no?

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 22 lug 2008, 10:18

le potenze di$ 2 $ del tipo $ 2^n $ sono tutte multiple di $ 4 $
tranne il caso n=1. infatti si ha o $ 4^{n/2} \cdot{1} $ o $ 4^{n/2} \cdot{2} $e poi si ripete.
le potenze di due si ripetono ogni quattro potenze, ogni volta, cioè, che la potenza è multipla di $ 4 $. in quel caso ogni quarta potenza di 2 ha come cifra delle unità $ 6 $.
quindi tranne il primo che è $ 4 $, le altre cifre delle unità saranno tutte 6 e visto che è una somma, per trovare la cifra di questa basta fare

$ 4+\6 \cdot{1998}= 11992 $ e quindi la cifra delle unità è $ 2 $

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 22 lug 2008, 11:40

Scrivendo $ 2^{(2^1)}+2^{(2^2)}+2^{(2^3)}+...+2^{(2^{1999})} $ come $ 2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{16}+\dots $ si nota che, per una nota proprietà delle potenze, si può scrivere anche $ 4^{1}+4^{2}+4^{4}+4^{8}+\dots $.
Le potenze pari di 4 hanno 6 come cifra dell'unità, quelle dispari terminano invece con 4.
Oltre il 4 iniziale, si ha la somma di 1998 potenze pari di 4. Dunque, la cifra dell'unità richiesta è $ u = unità(4 + 1998*6) $, ossia $ u = unità(11992) = 2 $

elendil
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Messaggio da elendil » 22 lug 2008, 15:18

Grazie mille delle spiegazoni ho capito l'errore :wink:

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Bellaz
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Messaggio da Bellaz » 22 lug 2008, 16:28

L'ho risolto in modo identico agli altri... :wink: :wink:
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)

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