Divisibilità, n intero dispari

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Goldrake
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Divisibilità, n intero dispari

Messaggio da Goldrake » 15 lug 2008, 13:26

Salve a tutti.

Sono dati gli interi
$ $a,b,c,d,e$ $
tali che
$ $n|a+b+c+d+e, n|a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ $
con $ $n$ $ intero dispari.

Provare che
$ $n|a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$ $

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 16 lug 2008, 18:52

In 5 variabili, sia $ e_k $ la k-esima funzione simmetrica elementare (somma dei prodotti a k a k delle variabili) e $ p_k $ la somma delle k-esime potenze delle variabili.

Si ha
$ n | e_1 = p_1 $
$ n | p_2 $
$ 2 e_2 = e_1^2 - p_2 $
$ n | e_2 $

Per le formule di Newton-Girard
$ 5e_5 - p_5 = e_4 p_1 - e_3 p_2 + e_2 p_3 - e_1 p_4 $

Abbiamo che $ n $ divide ogni termine in RHS, dunque divide LHS.

PS-NB: Anche prendendo 37 variabili, è lo stesso.
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 27 lug 2008, 00:59

Ok.

Vista la soluzione, non mi sento in colpa che non ci sono arrivato. :wink:

Grazie, buon proseguimento!

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