Un'altra simpatica proprietà di phi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Carlein
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Un'altra simpatica proprietà di phi

Messaggio da Carlein » 11 lug 2008, 17:30

Dimostrare che $ \sum{\phi(d)}=n $ dove $ d $ è variabile tra tutti i divisori di n, dove n è un naturale generico.
Mah è piuttoso semplice però è carino, non ho la certezza che se ne sia parlato, ma mi pare probabile: ho cercato un pò tra i vecchi post ma dopo un pò ci si stanca, a phi si aprono volumi interi di post! :lol:
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jordan
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Messaggio da jordan » 12 lug 2008, 16:46

Dopo il 49 primo spero di non sparare altre cavolate..

Sia $ \displaystyle \phi_n(X)=\prod_{\alpha^n=1, ord(\alpha)=n}{(X-\alpha)}, deg(\phi_n)=\varphi{(n)}, n \in \mathbb{N} $ l'n-esimo polinomio ciclotomico; comparando i gradi della nota identità $ X^n-1=\prod_{d|n}{\phi_d(X)} $ si ha la tesi. :D
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Messaggio da fph » 12 lug 2008, 17:41

Così non vale... adesso per punizione ci dimostri la "nota identità" :D
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alessio
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Messaggio da alessio » 12 lug 2008, 18:05

Provo a dare una soluzione elementare:
Sia $ \begin{math}D=\{d \in N t.c. d|n\}\end{math} $

1) se n è primo allora $ \begin{math}D=\{1,n\}\end{math} $ e la sommatoria $ \begin{math} \sum\phi(d)\end{math} $ è uguale a $ \begin{math}\phi(1)+\phi(n)=1+(n-1)=n\end{math} $

2) se n è potenza di un primo $ \begin{math}n=p^m\end{math} $ allora $ \begin{math}D=\{1,p,p^2,...,p^m\}\end{math} $ e la sommatoria $ \begin{math} \sum\phi(d)\end{math} $ è uguale a $ \begin{math}\phi(1)+\phi(p)+\phi(p^2)+...+\phi(p^m)\end{math} $ $ \begin{math} = 1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^m-p^{m-1})=n\end{math} $

3) se n è generico $ \begin{math}n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_t^{m_t}\end{math} $ allora $ \begin{math}D=\{p_1^{s_1}p_2^{s_2}...p_t^{s_t}\} \mbox{ al variare di } 0\leq s_i \leq m_i \end{math} $
Notiamo che per il passo 2 si ha $ \begin{math} n=M=\prod_{i=1}^t \sum_{j=0}^{m_i} \phi(p^j) \end{math} $

Ma si può dimostrare (con una semplice doppia inclusione) che $ \begin{math} M=\sum \prod_{i=1,0 \leq s_j \leq m_i}^{t}\phi(p_i^{s_j})\end{math} $ cioè la somma di tutte le possibili disposizioni di esponenti.

Infine, ricordando che $ \begin{math}\phi\end{math} $ è moltiplicativa per coprimi, M è uguale proprio a $ \begin{math} \sum\phi(d)\end{math} $ provando così la tesi.

P.S: scusate il casino con gli indici...
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Messaggio da nicelbole » 13 lug 2008, 22:23

Dato un intero $ n $, consideriamo l'insieme delle frazioni del tipo $ \displaystyle \frac{k}{n} $, con $ k $ intero tale che $ 1\leq k\leq n $, e l'insieme delle frazioni nella forma $ \displaystyle \frac{a}{b} $ , con $ b $ divisore positivo di $ n $, $ a $ intero tale che $ 1\leq a\leq b $ e che $ \left(a,b\right)=1 $.
Il secondo insieme non contiene altri che le frazioni del primo insieme ridotte ai minimi termini, dunque i due insiemi coincidono.

Con la prima scrittura abbiamo in totale $ n $ frazioni; con la seconda abbiamo $ \phi(d) $frazioni per ogni $ d $ che divide $ n $.
Per quanto dimostrato sopra, i due insiemi sono uguali, dunque $ \sum{\phi(d)}=n $.

Carlein
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Messaggio da Carlein » 13 lug 2008, 23:02

Cappero che soluzione!! :D
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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 14 lug 2008, 09:44

Davvero bella la dimostrazione!
@Carlein ne avevi un'altra o è uguale a quella di nicelbole?
Appassionatamente BTA 197!

Carlein
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Messaggio da Carlein » 14 lug 2008, 15:55

Purtroppo no...non ne ho fatte alternative, la mia era la stessa di alessio.
Comunque quella di nicelbole, come prova elementare dovrebbe essere la più sintetica e istruttiva.Poi bò non si può mai dire ciò con certezza fino a "prova contraria" :)
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