Fibonacci e quadrati perfetti

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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salva90
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Fibonacci e quadrati perfetti

Messaggio da salva90 » 06 lug 2008, 21:36

Sia n un numero di Fibonacci.
Mostrare che uno tra $ 5n^2-4 $ e $ 5n^2+4 $ è un quadrato perfetto.


good work

:wink:
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nicelbole
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Messaggio da nicelbole » 06 lug 2008, 23:33

Allora, sia $ F_{n} $ l'ennesimo numero di Fibonacci.
Voglio dimostrare che $ 5\cdot F_{n}^2+(-1)^{n}\cdot4=(F_{n-1}+F_{n+1})^2 $. Essendo $ F_{n-1}+F_{n+1} $ un intero, si ha la tesi.

Innanzitutto vado a rispulciare l'identità di Cassini: $ F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^2=(-1)^{n} $. La dimostrazione di questa identità è piuttosto agevole e si fa per induzione.
Poichè, per definizione, $ F_{n}=F_{n+1}-F_{n-1} $, si ha: $ F_{n}^2=(F_{n+1}-F_{n-1})^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n+1}F_{n-1} $.
Usando l'identità di Cassini, $ F_{n}^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n}^2-4\cdot (-1)^n $.

Portando a sinistra gli ultimi due termini, ottengo esattamente quello che volevo dimostrare.

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salva90
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Messaggio da salva90 » 07 lug 2008, 08:52

uhm, ok...
e se chiedessi di dimostare che se uno tra $ 5x^2-4 $ e $ 5x^2+4 $ è un quadrato perfetto allora x è un fibonacci? :wink:
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