Ancora phi!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nicelbole
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Ancora phi!

Messaggio da nicelbole » 03 lug 2008, 14:46

Sia $ f(n) $ la funzione che associa ad ogni intero positivo $ n>1 $ la somma degli interi positivi minori di $ n $ e primi con $ n $.
Dimostrare che se $ f(m)=f(n) $ allora $ m=n $.

Carlein
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Messaggio da Carlein » 04 lug 2008, 13:10

Bel problema, vediamo se è giusta la mia soluzione:per quanto(o meglio per come) dimostrato da nicelbole nel post di salva(phi senza pari) possiamo calcolare la nostra $ f(n)=\phi(n)n/2 $ ma allora l'eguaglianza diviene $ \phi(n)n/2=\phi(m)m/2 $ ovvero $ \phi(n)n=\phi(m)m $ ora wlog m>n: abbiamo che necessariamente nn si può avere (m,n)=1 perchè altrimenti $ \phi(n)=m $ che è assurdo per la diseguaglianza di su.Ma ora dimostriamo che per ogni fattore primo comune è comune anche l'esponente di tale fattore: $ a^kc=m $ e $ a^gb=n $ ma ora poichè possiamo riscrivere $ (a^kc)\phi(a^k)\phi(c)=a^gb((\phi(a^g))(\phi(b)) $ se wlog k>g allora abbiamo un lato dell'eguaglianza che ha un fattore a con esponente più grande.Poichè questo vale per tutti i fattori comuni, avremo un espressione così( con s MCD) $ sc(\phi(s)\phi(c))=sd(\phi(s)(\phi(d)) $ semplificando da un lato e dall'altro ci troviamo $ c(\phi(c))=d(\phi(d)\) $ ma per la coprimalità di c e d e le ragioni già esposte riguardo a un eventuale situazione...assurdo
Mi scuso per eventuali bestialità...ma domani ho un esame di maturità e l ho fatto tutto in fretta e in furia ...e nn ho ricontrollato nemmeno una volta i passaggi...mi affido alla vostra clemenza nell'eventuale stroncamento...
Saluti!
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"

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